Иррациональная последовательность

 В математике an называется иррациональной последовательностью, если она обладает свойством, что для любой последовательности xn положительных целых чисел сумма последовательности

n=11anxn
  существует и является иррациональным числом. Задача описания иррациональных последовательностей поставлена Палом Эрдёшем и , которые первоначально называли свойство быть иррациональной последовательностью «Свойством P».

Примеры


22n образуют иррациональную последовательность. Тем не менее, хотя последовательность Сильвестра

 , \ldots
  (в которой каждый член на единицу больше произведения всех предыдущих членов) также растёт со скоростью , она не образует иррациональную последовательность. Если положить xn=1, получим

12+13+17+143+=1,
  которая сходится к рациональному числу. Подобным же образом факториалы n! не образуют иррациональную последовательность, поскольку последовательность xn=n+2 приводит к последовательности с рациональной суммой

n=01(n+2)n!=12+13+18+130+1144+=1.

Скорость роста


 Любая последовательность an, которая растёт со скоростью, такой что

lim supnloglogann>log2
  является иррациональной последовательностью. Сюда входят последовательности, которые растут быстрее двойной экспоненты, как и некоторые двойные экспоненциальные последовательности растущие быстрее, чем степень степени двух.
 Любая иррациональная последовательность должна расти достаточно быстро, так что

limnan1/n=.
  Однако не известно, существует ли такая последовательность, в которой НОД любой пары множителей равен 1 (в отличие от степени степени двух) и для которой

limnan1/2n<.

Связанные свойства


 По аналогии с иррациональными последовательностями, Ханчл определил трансцендентные последовательности как последовательности целых чисел an, такие, что для любой последовательности xn положительных целых чисел сумма последовательности

n=11anxn
  существует и является трансцендентным числом.