Функция Ландау

Функция Ландау g(n) в теории чисел, названная в честь немецкого математика Эдмунда Ландау, определяется для любого натурального числа n как наибольший порядок элемента симметрической группы Sn.

Определения


 Эквивалентные определения: g(n) равно наибольшему из наименьших общих кратных (НОК) по всем разбиениям числа n, или максимальному числа раз, которое подстановка из n элементов может быть последовательно применена до первого появления первоначальной последовательности. Таким образом, формально:

g(n)=maxk1++km=nHOK(k1,,km).
  Например, 5 = 2 + 3 и НОК(2,3) = 6. Никакое другое разбиение не даёт большее наименьшее общее кратное, следовательно g(5)=6. Элемент порядка 6 в группе S5 может быть записан в виде произведения двух циклов: (1 2) (3 4 5).

Свойства


 Целочисленная последовательность g(0) = 1, g(1) = 1, g(2) = 2, g(3) = 3, g(4) = 4, g(5) = 6, g(6) = 6, g(7) = 12, g(8) = 15, \ldots — , названа в честь Эдмунда Ландау, доказавшего в 1902 году, что

limnln(g(n))nln(n)=1
  (где ln обозначает натуральный логарифм).
 При этом локальные максимумы выражения под знаком предела случаются при n = 2, 3, 5, 7, 9, 10, 12, 17, 19, 30, 36, 40, \ldots .
 Утверждение о том, что

lng(n)<Li1(n)
  для всех n, где Li1 обозначает обратную функцию к интегральному логарифму, эквивалентно гипотезе Римана.
 Другие соотношения:

  • ln НОК (1, 2, \ldots, n) lng(n(n+1)2)nlnn. Первое неравенство следует из того, что 1+2++n=n(n+1)2 — одно из разбиений, вторая асимптотика из утверждения Ландау.
  • Пусть gpf(g(n)) — наибольший простой множитель g(n). Значения этой функции при n=2, 3, \ldots будут 2, 3, 2, 3, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 11, \ldots . J.-L. Nicolas в 1969 показал, что gpf(g(n))nlnn. J.-P. Massias et al. (1988, 1989) показали, что для всех n2 gpf(g(n))2,86nlnn, а J. Grantham (1995) показал, что для всех n5 константа 2,86 может быть улучшена до 1,328.