Счастливое число

Счастливое число в теории чисел  — натуральное число из множества, генерируемого «решетом», аналогичным решету Эратосфена, которое генерирует простые числа.
 Процесс начинается с полного списка натуральных чисел:
 \texttt1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, \ldots
 Каждое второе число (все чётные числа) исключается, остается только нечётные числа:
 \texttt1,    3,    5,    7,    9,   11,   13,   15,   17,   19,   21,   23,   25,   
 Второй член в этой последовательности — число 3. Каждое третье число, которое остаётся в списке, исключается:
 \texttt1,    3,          7,    9,         13,   15,         19,   21,         25,
 Теперь третье оставшееся число — 7, поэтому каждый седьмой номер, который остался, исключается:
 \texttt1,    3,          7,    9,         13,   15,               21,         25,
 Процедура постоянно повторяется; остающиеся числа — и есть счастливые числа:

  1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, \ldots .

История


 В 1955 году термин был предложен в работе Гардинера, Лазаруса, Метрополиса и Улама. Также они предложили назвать это решето решетом Иосифа Флавия из-за его схожести со считалкой в задаче Иосифа Флавия.

Свойства


 Счастливые числа по многим свойствам близки к простым числам. Например, их асимптотическая плотность равна 1lnn, то есть совпадает с асимптотической плотностью простых чисел; счастливые числа-близнецы и простые числа-близнецы также появляются с близкой частотой. Пары счастливых чисел, отличающихся на 4, 6, 8 и т. д., появляются с частотой, близкой к частоте соответствующих пар простых чисел. На счастливые числа может быть распространена версия проблемы Гольдбаха. Существует бесконечное множество счастливых чисел. Из-за этих очевидных связей с простыми числами некоторые математики предположили, что эти свойства могут быть найдены в более широком классе множеств этих чисел, сгенерированных решетом неизвестного вида, хотя теоретические основания для этой гипотезы малы.

Счастливые простые числа


Счастливое простое число — это счастливое число, которое является простым. Неизвестно, бесконечно ли множество счастливых простых чисел. Первые числа этой последовательности:

 , \ldots .