Счастливое число

Счастливое число в теории чисел  — натуральное число измножества, генерируемого «решетом», аналогичным решету Эратосфена,которое генерирует простые числа.
 Процесс начинается с полного списка натуральных чисел:
 \texttt1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, \ldots
 Каждое второе число (все чётные числа) исключается, остается тольконечётные числа:
 \texttt1,    3,    5,    7,    9,   11,   13,   15,   17,   19,   21,   23,   25,   
 Второй член в этой последовательности — число 3. Каждое третье число,которое остаётся в списке, исключается:
 \texttt1,    3,          7,    9,         13,   15,         19,   21,         25,
 Теперь третье оставшееся число — 7, поэтому каждый седьмой номер,который остался, исключается:
 \texttt1,    3,          7,    9,         13,   15,               21,         25,
 Процедура постоянно повторяется; остающиеся числа — и есть счастливыечисла:

 1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75,79, 87, 93, 99, \ldots .

История


 В 1955 году термин был предложен в работе Гардинера, Лазаруса,Метрополиса и Улама. Также они предложили назвать это решето решетомИосифа Флавия из-за его схожести со считалкой в задаче Иосифа Флавия.

Свойства


 Счастливые числа по многим свойствам близки к простым числам. Например,их асимптотическая плотность равна 1lnn, то естьсовпадает с асимптотической плотностью простых чисел; счастливыечисла-близнецы и простые числа-близнецы также появляются с близкойчастотой. Пары счастливых чисел, отличающихся на 4, 6, 8 и т. д.,появляются с частотой, близкой к частоте соответствующих пар простыхчисел. На счастливые числа может быть распространена версия проблемыГольдбаха. Существует бесконечное множество счастливых чисел. Из-за этихочевидных связей с простыми числами некоторые математики предположили,что эти свойства могут быть найдены в более широком классе множеств этихчисел, сгенерированных решетом неизвестного вида, хотя теоретическиеоснования для этой гипотезы малы.

Счастливые простыечисла


Счастливое простое число — это счастливое число, котороеявляется простым. Неизвестно, бесконечно ли множество счастливых простыхчисел. Первые числа этой последовательности:

 , \ldots .