Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js

Числа Люка

Числа Люка задаются рекуррентной формулой

Ln=Ln1+Ln2
 с начальными значениями L0=2 и L1=1.
 Последовательность чисел Люка начинается так:

 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, \ldots

Формула общегочлена


 Последовательность Ln можно выразить как функцию от n:
Ln=φn+(1φ)n=φn+(φ)n=(1+52)n+(152)n,где φ=1+52 — золотое сечение.

Проверка простоты числа с помощью чиселЛюка


 Числа Люка могут использоваться для проверки чисел на простоту. Чтобыпроверить, является ли число p простым, Возьмём p-ое числоЛюка, вычтем из него единицу, и если полученное число не делится наp нацело, то p гарантированно не является простым. Впротивном случае число может быть как простым, так и составным и требуетболее тщательной проверки.
 В качестве примера проверим, является ли число 14 простым. 14-ое числоЛюка — 843.
843114=60.142857
 Значит, 14 — гарантированно не простое.

Связь с числамиФибоначчи


 Числа Люка связаны с числами Фибоначчи следующим формулами

  • Ln=Fn1+Fn+1=Fn+2Fn1
  • Lm+n=Lm+1Fn+LmFn1
  • L2n=5F2n+4(1)n, и при стремлении n к +∞ отношение LnFn стремится 5.
  • F2n=LnFn
  • Fn+k+(1)kFnk=LkFn
  • Fn=Ln1+Ln+15

Другиесвойства


 Для n>1 величина (φ)n меньше 1/2, Ln - ближайшее целоек φn или, что эквивалентно, Ln - это целая частьφn+1/2, что можно записать как φn+1/2.

Обобщения


 Числа Люка можно также определить для отрицательных индексов по формуле:

Ln=(1)nLn
 Эдуард Люка ввел понятие «обобщённых последовательностей Фибоначчи»,частным случаем которых являются числа Фибоначчи и числа Люка

Fn=Un(1,1)Ln=Vn(1,1)
 Категория:Целочисленные последовательностиЛюка числа