Числа Люка

Числа Люка задаются рекуррентной формулой

Ln=Ln1+Ln2
  с начальными значениями L0=2 и L1=1.
 Последовательность чисел Люка начинается так:

  2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, \ldots

Формула общего члена


 Последовательность Ln можно выразить как функцию от n:
Ln=φn+(1φ)n=φn+(φ)n=(1+52)n+(152)n,
где φ=1+52 — золотое сечение.

Проверка простоты числа с помощью чисел Люка


 Числа Люка могут использоваться для проверки чисел на простоту. Чтобы проверить, является ли число p простым, Возьмём p-ое число Люка, вычтем из него единицу, и если полученное число не делится на p нацело, то p гарантированно не является простым. В противном случае число может быть как простым, так и составным и требует более тщательной проверки.
 В качестве примера проверим, является ли число 14 простым. 14-ое число Люка — 843.
843114=60.142857
 Значит, 14 — гарантированно не простое.

Связь с числами Фибоначчи


 Числа Люка связаны с числами Фибоначчи следующим формулами

  • Ln=Fn1+Fn+1=Fn+2Fn1
  • Lm+n=Lm+1Fn+LmFn1
  • Ln2=5Fn2+4(1)n, и при стремлении n к +∞ отношение LnFn стремится 5.
  • F2n=LnFn
  • Fn+k+(1)kFnk=LkFn
  • Fn=Ln1+Ln+15

Другие свойства


 Для n>1 величина (φ)n меньше 1/2, Ln - ближайшее целое к φn или, что эквивалентно, Ln - это целая часть φn+1/2, что можно записать как φn+1/2.

Обобщения


 Числа Люка можно также определить для отрицательных индексов по формуле:

Ln=(1)nLn
  Эдуард Люка ввел понятие «обобщённых последовательностей Фибоначчи», частным случаем которых являются числа Фибоначчи и числа Люка

Fn=Un(1,1)Ln=Vn(1,1)
  Категория:Целочисленные последовательностиЛюка числа