Processing math: 100%

Число Джуги

Число Джуги — составное число n, такое, что для любого егоpi выполнено pi|(npi1), или, чтоэквивалентно, такое, что для любого его простого делителя pi имеетместо p2i|(npi).
 Название дано по имени итальянского математика , исследовавшим эти числав связи с гипотезой Аго — Джуги о простых числах.

Определения


 Одно из эквивалентных определений дал Такаси Аго (Takashi Agoh,1990): составное число n является числом Джуги тогда и только тогда,когда выполняется:

nBφ(n)1(modn),
 где B — число Бернулли и φ(n) — функция Эйлера.
 Другие эквивалентная формулировка принадлежат Джузеппе Джуге: составноечисло n является числом Джуги тогда и только тогда, когда выполняетсяравенство:

n1i=1iφ(n)1(modn),
 а также тогда и только тогда, когда:

p|n1pp|n1pN.
 Все известные числа Джуги (n) фактически удовлетворяют более сильномуусловию:

p|n1pp|n1p=1.

Примеры


 Первые пять чисел Джуги:

 , \ldots.
 Например, число 30 является числом Джуги, поскольку его простыеделители — это 2, 3 и 5, и можно показать, что:

  • 30/2 — 1 = 14, делится на 2,
  • 30/3 — 1 = 9, является квадратом трёх, и
  • 30/5 — 1 = 5, совпадает с третьим простым делителем.

Свойства


 Простые делители числа Джуги должны быть различными. Если p2 делитn, то np1=n1, где n делится на p. Посколькуn1 не может делиться на p, n не может быть числом Джуги.
 Таким образом, только свободные от квадратов числа могут быть числамиДжуги. Например, делителями 60 являются 2, 2, 3 и 5, и 60/2 — 1 = 29,которое не делится на 2. Таким образом, 60 не является числом Джуги.
 Полупростые числа также не могут быть числами Джуги. Если числоn=p1p2, где $p_1 Все известные числа Джуги чётны. Если нечётное число Джуги существует,то оно должно быть произведением по меньшей мере четырнадцати простых.Неизвестно, конечно ли количество чисел Джуги или бесконечно.
 Паоло Лава (Paolo P. Lava, 2009) высказал гипотезу, по которойчисла Джуги являются решениям арифметического дифференциальногоуравнения n=n+1, где n — числа n. Хосе Мария Грау (JoséMaria Grau) и Антонио Оллер-Марсен (Antonio Oller-Marcén)показали, что целое число n является числом Джуги тогда и толькотогда, когда оно удовлетворяет арифметическому дифференциальномууравнению n=an+1 для некоторого целого a>0.