Совершенное тотиентное число

Совершенное тотиентное число — это целое число, которое равносумме его итерированных тотиентов (значений функции Эйлера). То есть мыприменяем функцию Эйлера к числу n и последовательно ко всемполучающимся тотиентам, пока не достигнем числа 1, складываяпоследовательно получающиеся числа. Если сумма равна n, тоn является совершенным тотиентным числом. Алгебраически, если
n=c+1i=1φi(n),
где
φi(n)={φ(n),i=1φ(φi1(n)),i1
рекурсивная итерированная функция Эйлера, а c — это целоечисло, такое, что
φc(n)=2,
то n является совершеннымтотиентным числом.
 Несколько первых совершенных тотиентных чисел

 3, 9, 15, 27, 39, 81, 111, 183, 243, 255, 327, 363, 471, 729, 2187,2199, 3063, 4359, 4375, ... .
 Например, начиная с 327 вычисляем φ(327) = 216, φ(216) = 72, φ(72) = 24,φ(24) = 8, φ(8) = 4, φ(4) = 2, φ(2) = 1, получаем 216 + 72 + 24 + 8 + 4+ 2 + 1 = 327.
 4294967295 является совершенным тотиентным числом, которое являетсятакже максимальным беззнаковым целым числом во многих современныхкомпьютерах.

Степенитройки


 Можно заметить, что многие совершенные тотиентные числа делятся на 3.Фактически, число 4375 является наименьшим совершенным тотиентнымчислом, не делящимся на 3. Все степени 3 являются совершеннымитотиентными числами, что можно показать по индукции, используя факт
φ(3k)=φ(2×3k)=2×3k1.

 Венкатараман (1975) нашёл другое семейство совершенных тотиентных чисел— если p = 4×3k+1 простое, то 3pсовершенное тотиентное число. Значения k, ведущие к совершеннымтотиентным числам этим способом:

 0, 1, 2, 3, 6, 14, 15, 39, 201, 249, 1005, 1254, 1635, ... .
 Более обще, если p является простым числом, большим 3, и3p является совершенным тотиентным числом, то p ≡ 1 (mod4). Не все p этого вида приводят к совершенным тотиентным числам.Так, 51 совершенным тотиентным числом не является. Иануччи, Денг и Коэнпоказали, что если 9p является совершенным тотиентным числом, тоp является простым и имеет одну из трёх форм, перечисленных встатье. Неизвестно, имеются ли совершенные тотиентные числа вида3kp, где p является простым и k\textgreater 3.