Период Пизано

Период Пизано π(m) — это длина периода последовательностиФибоначчи по модулю заданного целого положительного числа m.

Примеры


 Последовательность Фибоначчи по модулю любого целого положительногочисла m периодична, так как среди первых m2+1 пар чиселнайдутся две равные пары (xi,xi+1)=(xj,xj+1) длянекоторых ij. Поэтому для всех целых k выполняетсяxi+k=xj+k, то есть, последовательность периодична.
 Например, по модулю 4 последовательность Фибоначчи выглядит как

 0, 1, 1, 2, 3, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 1, 0, 1, 1 ...
 и поэтому π(4)=6.
 Последовательность периодов Пизано начинается так :
m12345678910111213141516
π(m)1386202416122460102428484024

Свойства



  • Если a и b взаимно просты, то π(ab)=HOK(π(a),π(b)). Или если m=p1α1p2α2pkαk, то π(m)=HOK(π(p1α1),π(p2α2),,π(pkαk)) (следствие китайской теоремы об остатках).


  • π(m)=σ(m)σ0(m), где за σ(m) обозначено количество нулей в периоде, а за σ0(m) обозначен индекс первого нуля (не считая F0). Более того, известно что σ(m){1,2,4}.


  • Для простого числа p и целого числа k ≥ 1 выполняется π(pk)|pk1π(p). Более того, для всех точных степеней простых чисел от 1 до миллиона выполнено равенство π(pk)=pk1π(p). Но до сих пор неизвестно, на всегда ли выполнено это равенство, и существуют ли такое p, что π(p2)=π(p).


  • Если p — нечётное простое число, то π(p) делится на p(p5), где (p5) — символ Лежандра. В частности, справедливы следующие утверждения:
    • при p±1(mod5) выполняется π(p)|(p1),
    • при p±2(mod5) выполняется π(p)|(p+1).


  • Для всех положительных целых чисел m справедливо неравенство π(m)6m, причём равенство в нём достигается только на числах вида m=25k.