Праймориал

Праймориал (, иногда именуется также «примориал») — в теориичисел функция над рядом натуральных чисел, схожая с функцией факториала,с разницей в том, что праймориал является последовательным произведениемпростых чисел, меньших или равных данному, в то время как факториалявляется последовательным произведением всех натуральных чисел, меньшихили равных данному.
 Термин «праймориал» ввёл в научный оборот американский инженер иматематик .

Определение для простыхчисел


 Для n-го простого числа pn праймориалpn\# определён как произведение первых nпростых чисел:

 $p_n\# = \prod_{k=1}^n p_k,$
 где pk — k-е простое число.
 Например, p5\# обозначает произведение первых 5простых чисел:

 $p_5\# = 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11 = 2310.$
 Таким образом, первые шесть праймориалов:

 1, 2, 6, 30, 210, 2310 (, также включает p0\# = 1как ).
 Асимптотически праймориалы pn\# растут всоответствии с

 $p_n\# = e^{[1 + o(1)] n \log n},$
 где $o(\cdot)$ является нотацией «o» малого.

Определение для натуральныхчисел


 В общем случае для целого положительного числа n праймориалn\# может быть определён как произведение простых чисел, меньшихили равных n:

 $n\# = \prod_{i=1}^{\pi(n)} p_i = p_{\pi(n)}\#,$
 где $\pi(n)$ является функцией распределения простых чисел , дающаяколичество простых чисел ≤ n, что эквивалентно


 n\{\# = \{begin\{cases\}
 \texttt   1 \& \{text\{при \} n = 1, \{\{\\\texttt   n \{times ((n - 1)\{\#) \& \{text\{при простом \} n \textgreater 1, \{\{\\\texttt   (n-1)\{\# \& \{text\{при составном \} n \textgreater 1.
 \{end\{cases\}
 Например, 12\# представляет собой произведение простых чисел, каждое изкоторых ≤ 12:

 $12\# = 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11= 2310.$
 Таким образом, $\pi(12) = 5$ может быть вычислено как

 $12\# = p_{\pi(12)}\# = p_5\# = 2310.$
 Рассмотрим первые 12 праймориалов:

 1, 2, 6, 6, 30, 30, 210, 210, 210, 210, 2310, 2310.
 Мы видим, что для составных чисел каждый член данной последовательностипросто дублирует предыдущий. В приведенном выше примере мы имеем, что12\# = p5\# = 11\#, поскольку 12 являетсясоставным числом.
 Натуральный логарифм n\# — это первая функция Чебышева,записанная в виде $\theta(n)$ или $\thetasym(n)$, что приближается клинейной n для больших значений n.
 Праймориалы n\# растут в соответствии с

 $\ln (n\#) \sim n.$

Свойства иприложения


 Праймориалы играют важную роль в поиске простых чисел в арифметическихпрогрессиях из простых чисел. Например, сложение чисел 2236133941 + 23\#даёт в результате простое число, начинающее последовательность изтринадцати простых чисел, которые можно получить, последовательноприбавляя 23\#, и заканчивающуюся числом 5136341251. 23\# является такжеобщей разностью в арифметических прогрессиях из пятнадцати и шестнадцатипростых чисел.
 Каждое можно представить в виде произведения праймориалов (например, 360= 2 · 6 · 30).
 Все праймориалы являются бесквадратными числами, и каждый из них имеетлюбого числа меньшего, чем праймориал. Для каждого праймориала n,отношение $\phi(n)/n$ меньше, чем для любого целого числа, где $\phi$является функцией Эйлера.
 Каждый праймориал является .

Аппроксимация


 Дзета-функция Римана для положительных чисел, больших единицы, можетбыть выражена с использованием праймориала и $J_k(n)$:

 $\zeta(k)=\frac{2^k}{2^k-1}+\sum_{r=2}^\infty\frac{(p_{r-1}\#)^k}{J_k(p_r\#)},\quad k=2,3,\dots$

Таблицазначений


nn\#pnpn\#
01не существует1
1122
2236
36530
467210
530112310
6301330030
721017510510
8210199699690
921023223092870
10210296469693230
11231031200560490130
122310377420738134810
133003041304250263527210
14300304313082761331670030
153003047614889782588491410
16300305332589158477190044730
17510510591922760350154212639070
1851051061117288381359406970983270
199699690677858321551080267055879090
20969969071557940830126698960967415390