Праймориал

Праймориал (, иногда именуется также «примориал») — в теории чисел функция над рядом натуральных чисел, схожая с функцией факториала, с разницей в том, что праймориал является последовательным произведением простых чисел, меньших или равных данному, в то время как факториал является последовательным произведением всех натуральных чисел, меньших или равных данному.
 Термин «праймориал» ввёл в научный оборот американский инженер и математик .

Определение для простых чисел


 Для n-го простого числа pn праймориал pn\# определён как произведение первых n простых чисел:

pn#=k=1npk,
  где pk — k-е простое число.
 Например, p5\# обозначает произведение первых 5 простых чисел:

p5#=2×3×5×7×11=2310.
  Таким образом, первые шесть праймориалов:

  1, 2, 6, 30, 210, 2310 (, также включает p0\# = 1 как ).
  Асимптотически праймориалы pn\# растут в соответствии с

pn#=e[1+o(1)]nlogn,
  где o() является нотацией «o» малого.

Определение для натуральных чисел


 В общем случае для целого положительного числа n праймориал n\# может быть определён как произведение простых чисел, меньших или равных n:

n#=i=1π(n)pi=pπ(n)#,
  где π(n) является функцией распределения простых чисел , дающая количество простых чисел ≤ n, что эквивалентно


  n\{\# = \{begin\{cases\}
 \texttt   1 \& \{text\{при \} n = 1, \{\{\\\texttt   n \{times ((n - 1)\{\#) \& \{text\{при простом \} n \textgreater 1, \{\{\\\texttt   (n-1)\{\# \& \{text\{при составном \} n \textgreater 1.
 \{end\{cases\}
 Например, 12\# представляет собой произведение простых чисел, каждое из которых ≤ 12:

12#=2×3×5×7×11=2310.
  Таким образом, π(12)=5 может быть вычислено как

12#=pπ(12)#=p5#=2310.
  Рассмотрим первые 12 праймориалов:

  1, 2, 6, 6, 30, 30, 210, 210, 210, 210, 2310, 2310.
  Мы видим, что для составных чисел каждый член данной последовательности просто дублирует предыдущий. В приведенном выше примере мы имеем, что 12\# = p5\# = 11\#, поскольку 12 является составным числом.
 Натуральный логарифм n\# — это первая функция Чебышева, записанная в виде θ(n) или \thetasym(n), что приближается к линейной n для больших значений n.
 Праймориалы n\# растут в соответствии с

ln(n#)n.

Свойства и приложения


 Праймориалы играют важную роль в поиске простых чисел в арифметических прогрессиях из простых чисел. Например, сложение чисел 2236133941 + 23\# даёт в результате простое число, начинающее последовательность из тринадцати простых чисел, которые можно получить, последовательно прибавляя 23\#, и заканчивающуюся числом 5136341251. 23\# является также общей разностью в арифметических прогрессиях из пятнадцати и шестнадцати простых чисел.
 Каждое можно представить в виде произведения праймориалов (например, 360 = 2 · 6 · 30).
 Все праймориалы являются бесквадратными числами, и каждый из них имеет любого числа меньшего, чем праймориал. Для каждого праймориала n, отношение ϕ(n)/n меньше, чем для любого целого числа, где ϕ является функцией Эйлера.
 Каждый праймориал является .

Аппроксимация


 Дзета-функция Римана для положительных чисел, больших единицы, может быть выражена с использованием праймориала и Jk(n):

ζ(k)=2k2k1+r=2(pr1#)kJk(pr#),k=2,3,

Таблица значений


nn\#pnpn\#
01не существует1
1122
2236
36530
467210
530112310
6301330030
721017510510
8210199699690
921023223092870
10210296469693230
11231031200560490130
122310377420738134810
133003041304250263527210
14300304313082761331670030
153003047614889782588491410
16300305332589158477190044730
17510510591922760350154212639070
1851051061117288381359406970983270
199699690677858321551080267055879090
20969969071557940830126698960967415390