Числа Шрёдера

Числа Шрёдера в комбинаторике описывают количества путей из левого нижнего угла квадратной решётки n×n в противоположный по диагонали угол, используя только ходы вверх, вправо или вверх-вправо («ходом короля»), с дополнительным условием, что пути не поднимаются выше упомянутой диагонали. Именно это дополнительное условие отличает эту последовательность от чисел Деланноя. Названы в честь немецкого математика Эрнеста Шрёдера.
 Последовательность чисел Шрёдера начинается так:

  1, 2, 6, 22, 90, 394, 1806, 8558, \ldots. .
  Ричард Стэнли, профессор Массачусетского политехнического института, утверждает, что Гиппарх посчитал 10-е число Шрёдера 1037718, не упоминая правда способ, каким к нему пришёл.

Пример


 На рисунке ниже приведены 6 путей Шрёдера на сетке 2 × 2:

Эквивалентные определения


 Числа Шрёдера считают количество путей из точки (0, 0) в (2n, 0), использующих только шаги вправо-вверх или вправо-вниз (шаги (1, 1) или (1, —1)) или двойные шаги вправо (2, 0), которые не опускаются ниже оси x:
 Также числа Шрёдера равны количество способов разбить прямоугольник в n + 1 меньших прямоугольников, используя n разрезов; с ограничением, что есть n точек внутри прямоугольника, никакие две из которых не лежат на одной прямой, параллельной сторонам прямоугольника, и каждый разрез проходит через одну из этих точек и делит только один прямоугольник на два. Рисунок показывает 6 способов разрезания на 3 прямоугольника с помощью 2 разрезов:

Свойства



  • Числа Шрёдера Sn удовлетворяют рекуррентному соотношению:


S0=1;Sn=Sn1+i=0n1SiSn1i,n1.

  • Производящая функция:


n=1Snxn=1x16x+x22x