Последовательность Сильвестра

Последовательность Сильвестра — , в которой каждый очередной член равен произведению предыдущих членов плюс единица. Первые несколько членов последовательности:

 , \ldots .
  Названа по имени Джеймса Сильвестра, который первым исследовал её в 1880 году. Значения её членов растут как , а сумма обратных членов образует ряд долей единицы, который сходится к 1 быстрее, чем любой другой ряд дробей единицы с тем же числом членов. Рекуррентное соотношение, которое определяет члены последовательности, позволяет числам в последовательности быть разложенными на множители проще, нежели другие числа того же порядка, но ввиду очень быстрого роста членов ряда полное разложение на простые множители известно только для некоторых членов этой последовательности. Значения, полученные с использованием этой последовательности, используются для образования конечного представления 1 в виде египетской дроби, и как источник данных для .

Формальные определения


 Формально последовательность Сильвестра можно определить формулой:

sn=1+i=0n1si.
  равно 1, так что s0=2.
 Другим образом можно определить последовательность с помощью рекуррентного соотношения:

si=si1(si11)+1, где s0=2.
  Эквивалентность определений доказывается прямой индукцией.

Общая формула и асимптотики


 Члены последовательности Сильвестра растут со скоростью . В частности, можно показать, что:

sn=E2n+1+12,
  где число E приблизительно равно . Эта формула приводит к следующему алгоритму:

  s0 — ближайшее целое к E2; s1 — ближайшее целое к E4; s2 — ближайшее целое к E8; для sn, берём E2, возводим в квадрат n раз и берём ближайшее целое.
  Этот алгоритм был бы приемлемым, если бы мы имели лучший путь вычисления E вместо вычисления чисел sn с последующим вычислением квадратных корней.
 Рост элементов последовательности Сильвестра со скоростью двойной экспоненты совершенно не удивителен, если сравнивать с последовательностью чисел Ферма Fn. Числа Ферма часто задаются по формуле двойной экспоненты 22n+1, но их можно также задать по формулам умножения, подобным формулам последовательности Сильвестра:

Fn=2+i=0n1Fi.

Связь с египетскими дробями


 Доли единицы, образованные числами, обратными значениям последовательности Сильвестра, образуют бесконечный ряд:

i=01si=12+13+17+143+11807+.
  Частичные суммы этого ряда имеют простую форму

i=0j11si=11sj1=sj2sj1.
  Это можно доказать по индукции или прямо, если заметить, что из рекурсии вытекает

1si11si+11=1si,
  Таким образом, сумма телескопического ряда будет равна

i=0j11si=i=0j1(1si11si+11)=1s011sj1=11sj1.
  Поскольку последовательность частичных сумм (sj−2)/(sj−1) сходятся к единице, весь ряд образует бесконечное представление единицы в виде египетской дроби:

1=12+13+17+143+11807+.
  Можно найти конечные представления единицы в виде египетской дроби любой длины путём обрывания этого ряда и вычитанием единицы из последнего знаменателя:

1=12+13+16,1=12+13+17+142,1=12+13+17+143+11806,.
  Сумма первых k членов бесконечного ряда даёт ближайшую нижнюю оценку единицы k-членными египетскими дробями. Например, первые четыре члена добавляются к 1805/1806, а потому любая египетская дробь в открытом интервале (1805/1806,1) требует по меньшей мере пять членов.
 Можно рассматривать последовательность Сильвестра как результат жадного алгоритма для египетских дробей, который на каждом шаге выбирает наименьший возможный делитель, оставляющий частичную сумму меньше единицы. Также члены ряда после первого можно рассматривать как делители числа 1/2.

Единственность быстрорастущих рядов с рациональными суммами


 Как заметил сам Сильвестр, последовательность Сильвестра, похоже, единственная, которая имеет такую скорость роста, при этом сходясь к рациональному числу. Эта последовательность показывает пример того, что скорость роста двойной экспоненты недостаточна для того, чтобы последовательность целых чисел была рациональной последовательностью.
 Из результата Бадеа следует, что если последовательность целых чисел an растёт достаточно быстро, так, что

anan12an1+1,
  и если ряд

A=1ai
  сходится к рациональному числу A, то для всех n, начиная с некоторого места, эта последовательность должна удовлетворять рекуррентному соотношению

an=an12an1+1,
  что можно использовать для определения последовательности Сильвестра.
 Эрдёш высказал гипотезу, что в результатах такого типа границу неравенства роста последовательности можно заменить на более слабое условие

limnanan12=1.

Делимость и разложение


 Если i \textless j, из определения следует, что sj ≡ 1 (mod si). Таким образом, любые два члена последовательности Сильвестра взаимно просты. Последовательность можно использовать для доказательства бесконечности числа простых чисел, поскольку любое простое число может делить максимум одно число в последовательности. Никакой простой множитель числа в последовательности не может быть сравним с 5 (mod 6), и последовательность можно использовать для доказательства, что существует бесконечно много простых чисел, сравнимых с 7 (mod 12).
 Много остаётся неизвестного о разложении на множители членов последовательности Сильвестра. Например, неизвестно, являются ли все члены последовательности свободными от квадратов, хотя все известные члены таковыми являются.
 Как пишет Варди , легко установить, какой из членов последовательности Сильвестра (если такой есть) делится на простое число p — просто вычисляем вычеты членов последовательности по модулю p согласно рекуррентной формуле, пока не встретится ноль (по модулю p) или встретится такой же остаток. Используя эту технику, Варди нашёл, что 1166 из первого миллиона простых чисел являются делителями чисел Сильвестра, и ни один квадрат этих простых чисел не делит числа Сильвестра. Множество простых чисел, которые могут оказаться делителями членов ряда Сильвестра, имеет плотность ноль во множестве всех простых чисел. Более того, согласно Джонсу число таких простых меньших x равно O(π(x)/logloglogx).
 В следующей таблице приведены известные разложения этих чисел, (за исключением первых четырёх, являющихся простыми):
nМножители sn
413 × 139
53263443, простое
6547 × 607 × 1033 × 31051
729881 × 67003 × 9119521 × 6212157481
85295435634831 × 31401519357481261 × 77366930214021991992277
9181 × 1987 × 112374829138729 × 114152531605972711 × 35874380272246624152764569191134894955972560447869169859142453622851
102287 × 2271427 × 21430986826194127130578627950810640891005487 × P156
1173 × C416
122589377038614498251653 × 2872413602289671035947763837 × C785
1352387 × 5020387 × 5783021473 × 401472621488821859737 × 287001545675964617409598279 × C1600
1413999 × 74203 × 9638659 × 57218683 × 10861631274478494529 × C3293
1517881 × 97822786011310111 × 54062008753544850522999875710411 × C6618
16128551 × C13335
17635263 × 1286773 × 21269959 × C26661
1850201023123 × 139263586549 × 60466397701555612333765567 × C53313
19775608719589345260583891023073879169 × C106685
20352867 × 6210298470888313 × C213419
21387347773 × 1620516511 × C426863
2291798039513 × C853750

 Здесь Pn и Cn обозначают простые и составные числа с n десятичными цифрами.

Приложения


 Бойер, Галики и Коллар использовали свойства последовательности Сильвестра для определения большого числа , имеющих дифференциальную топологию сфер нечётных размерностей или экзотических сфер. Они показали, что число различных сасакианских эйнштейновских метрик на топологической сфере размерности 2n − 1 по меньшей мере пропорционально sn, а потому растёт со скоростью двойной экспоненты (от n).
 Как пишут Галамбос и Вогингер , Браун и Лианг использовали значения, полученные из последовательности Сильвестра, для построения примеров нижней границы для алгоритмов упаковки в контейнеры. Зайден и Вогингер подобным же образом использовали последовательность для нижней границы производительности двумерного алгоритма раскроя.
 Задача Знама касается множеств чисел, таких, что каждое число в множестве делит, но не равно произведению всех остальных множеств плюс единица. Без условия эквивалентности значения последовательности Сильвестра решают эту задачу. Если это условие ставится, имеется другое решение, получаемое из рекуррентного соотношения, подобного определению последовательности Сильвестра. Решения задачи Знама имеют приложения к классификации особых точек поверхностей (Brenton, Hill 1988) и теории .
 Куртис описывает приложение ближайшего приближения к единице k-членными суммами долей единицы к нижней границе числа делителей любого совершенного числа, а Мюллер использует то же самое свойство для числа некоторых групп.