Свободное от квадратов число

 В математике свободным от квадратов, или бесквадратным, называется число, которое не делится ни на один квадрат, кроме 1. К примеру, 10 — свободное от квадратов, а 18 — нет, так как 18 делится на 9 = 32. Начало последовательности свободных от квадратов чисел таково:

  1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 33, 34, 35, 37, 38, 39, \ldots
  Теория колец обобщает понятие бесквадратности следующим образом:

  Элемент r факториального кольца R называется свободным от квадратов, если он не делится на нетривиальный квадрат.
  Свободные от квадратов элементы также могут быть охарактеризованы исходя из их разложения на простые сомножители: любой ненулевой элемент r может быть представлен в виде произведения простых элементов

r=εp1p2pn,
  причем все простые сомножители pi различны, а ε — некоторая единица (обратимый элемент) кольца.

Эквивалентная характеристика чисел, свободных от квадратов


 Положительное число n свободно от квадратов тогда и только тогда, когда в разложении этого числа на простые множители ни одно простое число не встречается больше одного раза. По-другому это можно выразить так: для любого простого делителя p числа n, число p не делит n / p. Или, число n свободно от квадратов тогда и только тогда, когда для любого его разложения на множители n = ab, множители a и b взаимно просты.
 Положительное число n свободно от квадратов тогда и только тогда, когда μ(n)0, где μ(n) обозначает функцию Мёбиуса.
 Ряд Дирихле, порождающий свободные от квадратов числа:

ζ(s)ζ(2s)=n=1|μ(n)|ns где ζ(s) — дзета-функция Римана.
  Это сразу видно из произведения Эйлера:

ζ(s)ζ(2s)=p(1p2s)(1ps)=p(1+ps).
  Положительное число n свободно от квадратов тогда и только тогда, когда все абелевы группы порядка n изоморфны друг другу, что верно в том и только в том случае, когда они все — циклические. Это следует из классификации конечнопорождённых абелевых групп.
 Положительное число n свободно от квадратов тогда и только тогда, когда факторкольцо Z/nZ (см. сравнение по модулю) есть произведение полей. Это следует из китайской теоремы об остатках и того факта, что кольцо Z/kZ — поле тогда и только тогда, когда k — простое число.
 Для любого положительного числа n множество всех положительных его делителей представляет собой частично упорядоченное множество, если мы положим в качестве порядка отношение «делимости». Это частично упорядоченное множество — всегда дистрибутивная решётка. Оно — Булева алгебра в том и только в том случае, когда n свободно от квадратов.
 Радикал целого числа всегда свободен от квадратов.

Плотность свободных от квадратов чисел


 Пусть Q(x) задаёт число свободных от квадратов чисел в промежутке от 1 до x. Для большого n, 3/4 положительных чисел, меньших n не делятся на 4, 8/9 этих чисел не делятся на 9 и т. д.. Так как эти события независимы, получаем формулу:

Q(x)xp prime(11p2)=xp prime1(11p2)1


Q(x)xp prime11+1p2+1p4+=xk=11k2=xζ(2)
  Можно получить формулу без дзета-функции:

Q(x)=xζ(2)+O(x)=6xπ2+O(x)
  (см. pi и «O» большое и «o» малое). Согласно гипотезе Римана, оценка может быть улучшена:

Q(x)=xζ(2)+O(x17/54+ε)=6xπ2+O(x17/54+ε).
  Вот как ведёт себя разность числа свободных от квадратов чисел до n и [nζ(2)] на сайте OEIS: A158819 — (Number of square-free numbers ≤ n) minus round(\emphn/ζ(2)).
 Таким образом асимптотическая плотность свободных от квадратов чисел выглядит так:

limxQ(x)x=6π2=1ζ(2)
  Где ζ — дзета-функция Римана а 1/ζ(2)0.6079 (то есть, примерно 3/5 всех чисел свободны от квадратов).
 Аналогично, если Q(x,n) означает число n-свободных чисел (то есть 3-свободные числа не содержат кубов) между 1 и x, то:

Q(x,n)=xk=11kn+O(xn)=xζ(n)+O(xn).

Кодирование двоичными числами


 Если представить свободное от квадратов число в качестве бесконечного произведения вида

n=0pn+1an,
  где an{0,1},, а pn — n-е простое число, то мы можем выбирать эти коэффициенты an и использовать их в качестве битов в бинарной кодировке:

n=0an2n
  К примеру, свободное от квадратов число 42 раскладывается как 2 × 3 × 7, или как бесконечное произведение: 21 · 31 · 50 · 71 · 110 · 130 · \ldots; Таким образом, число 42 кодируется последовательностью \texttt...001011 или 11 в десятичной системе. (в бинарной кодировке биты пишутся наоборот.) А так как разложение на простые множители каждого числа — уникально, то уникален и бинарный код каждого свободного от квадратов числа.
 Обратное так же верно: так как у каждого положительного числа — уникальный бинарный код, его можно декодировать, получая уникальные числа, свободные от квадратов.
 Возьмём опять для примера число 42 — на этот раз просто в качестве положительного числа. Тогда мы получаем бинарный код \texttt101010 — это означает: 20 · 31 · 50 · 71 · 110 · 131 = 3 × 7 × 13 = 273.
 С точки зрения мощностей, это означает, что мощность множества чисел, свободных от квадратов, совпадает с мощностью множества всех натуральных чисел. Что в свою очередь означает, что кодирования свободных от квадратов чисел по порядку — в точности перестановка множества натуральных чисел.
 См. последовательности A048672 и A064273 на сайте OEIS.

Гипотеза Эрдёша


 Центральный биномиальный коэффициент (2nn) не может быть свободен от квадратов для n \textgreater 4.
 Это предположение Эрдёша о бесквадратности было доказано в 1996 году математиками Оливьером Рамарэ и Эндрю Грэвиллом.