Субфакториал

Субфакториал числа n (обозначение: !n) определяется как количество беспорядков порядка n, то есть перестановок порядка n без неподвижных точек. Название субфакториал происходит из аналогии с факториалом, определяющим общее количество перестановок.
 В частности, !n есть число способов положить n писем в n конвертов (по одному в каждый), чтобы ни одно не попало в соответствующий конверт (т. н. Задача о письмах).

Явная формула


 Субфакториал можно вычислить с помощью принципа включения-исключения:

!n=n!(111!+12!13!+...+(1)n1n!)=n!k=0n(1)kk!

Другие формулы



  • !n=Γ(n+1,1)e, где Γ обозначает , а e — математическая константа;
  • !n=n!e, где x обозначает ближайшее к x целое число.
  • !n=n!+1e (согласно Mehdi Hassani), где x обозначает целую часть числа.
  • Справедливы формальные тождества: Qn=(P1)n и Pn=(Q+1)n, где Pk нужно понимать как k!, а Qk — как !k.

Таблица значений


!!
1011
2112
3213
414
515
616
717
818
919
1020

Свойства



  • !n=!(n1)n+(1)n
  • !n=(n1)(!(n1)+!(n2)) (таким же свойством обладает сам факториал)
  • !n=(n1)an2,


  где a0=a1=1 и an=nan1+(n1)an2=!(n+1)+!n+1. Начальные члены последовательности an:

  1, , \ldots


  • Число является субфакторионом, т.е. равно сумме субфакториалов своих цифр (аналог факториона):



148349=!1+!4+!8+!3+!4+!9


  • Субфакториал иногда допускается в математических играх типа получения различных результатов из определённых цифр (например, известна игра Четыре четвёрки, где равенство !4 = 9 может принести пользу).