Сверхсоставное число

Сверхсоставное число — натуральное число с большим числом делителей, чем любое меньшее натуральное число.

История


 Термин был предложен Рамануджаном в 1915 году. Однако рассматривал их раньше, и, возможно, они были известны уже Платону, который описал число 5040 как идеальное количество граждан города, так как 5040 имеет больше делителей, чем любое меньшее число.

Примеры


 В таблице представлены первые 38 сверхсоставных числа .
номерСверхсоставноеразложение
на простыечисло
делителейразложение на
праймориалы
111
22222
3422322
462346
512223626
6242338226
7362232962
84824310236
960223512230
101202335162230
111802232518630
122402435202330
1336023325242630
14720243253022630
15840233573222210
161260223257366210
171680243574023210
1825202332574826210
19504024325760226210
2075602333576462210
211008025325772236210
221512024335780262210
232016026325784246210
24252002432527902230210
25277202332571196262310
264536024345710063210
275040025325271082330210
2855440243257111202262310
298316023335711128622310
30110880253257111442362310
31166320243357111602622310
32221760263257111682462310
3327720024325271118022302310
343326402533571119222622310
3549896024345711200632310
3655440025325271121623302310
376652802633571122423622310
38720720243257111324022630030

Разложение на простые


 В разложении сверхсоставных чисел участвуют самые маленькие простые множители, и при этом не слишком много одних и тех же.
 По основной теореме арифметики каждое натуральное число n имеет единственное разложение на простые:
n=p1c1×p2c2××pkck(1)
где p1<p2<<pk простые, и степени ci положительные целые числа. Число делителей d(n) числа n можно выразить следующим образом:
d(n)=(c1+1)×(c2+1)××(ck+1).(2)
Таким образом, для сверхсоставного числа n выполняется следующее

  • Числа p1,p2,,pk являются первыми k простыми числами.
  • Последовательность степеней должна быть невозрастающей, то есть c1c2ck.
    • Это свойство равносильно тому, что сверхсоставное число является произведением праймориалов.

  • За исключением двух особых случаев n = 4 И N = 36, последняя степень ck равна единице.

 В частности 1, 4 и 36 являются единственными сверхсоставными квадратами.
 Хотя описанные выше условия являются необходимыми, они не являются достаточными. Например, 96 = 25 × 3 удовлетворяет всем вышеперечисленным условиям и имеет 12 делителей, но не является сверхсоставным, поскольку существует меньшее число 60, которое имеет то же число делителей.

Асимптотический рост и плотность


 Существуют постоянные a и b, обе больше, чем 1, такие, что
ln(x)aQ(x)ln(x)b,
Где Q(x) обозначает число сверхсоставных чисел меньше либо равных x.
 Первая часть неравенства была доказана Палом Эрдешем в 1944 году; вторую доказал в 1988 году.
 Известно также, что
1,13862<lim inflogQ(x)loglogx1,44
и
lim suplogQ(x)loglogx1,71.

Свойства



  • Все сверхсоставные числа, большие 6, являются избыточными.


  • Не все сверхсоставные числа являются числами харшад по основанию 10;
    • первый контрпример это , это число имеет сумму цифр 27, но на 27 не делится.