Тау число

Тау-число (или refactorable number) — это целое число n, делящееся на число своих делителей, или, выражаясь алгебраически, такое n, что τ(n)|n. Первые несколько тау-чисел: 1, 2, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 40, 56, 60, 72, 80, 84, 88, 96 . Например, 18 имеет шесть делителей (1 и 18, 2 и 9, 3 и 6) и делится на 6.
 Купер и Кеннеди доказали, что тау-числа имеют асимптотическую плотность ноль. Зелинский доказал, что никакие три последовательных целых числа не могут быть тау-числами. Колтон доказал, что ни одно тау-число не является совершенным. Уравнение НОД(n, x) = τ(n) имеет решение только в случае, если n — тау-число.
 Остаются нерешенными несколько проблем относительно тау-чисел. Колтон поставил вопрос: существуют ли сколь угодно большие n, для которых и n, и n + 1 являются тау-числами. Зелинский же задаётся вопросом: если существует тау-число n0amodm, следует ли из этого, что существует n>n0, такое что n является тау-числом и namodm.

История


 Тау-числа были впервые определены Кёртисом Купером (Curtis Cooper) и Робертом Е. Кеннеди в статье, в которой они показали, что тау-числа имеют асимптотическую плотность ноль. Позднее они были переоткрыты Саймоном Колтоном (Simon Colton) с помощью программы, которую он написал для изобретения и проверки различных определений в некоторых областях математики, таких как теория чисел и теория графов. Колтон назвал эти числа «refactorable». Хотя компьютерные программы и обнаруживали доказательства ранее, это был первый случай, когда программа нашла новую или ранее незамеченную идею. Колтон доказал много результатов о тау-числах, показав бесконечность их числа и несколько условий их распределения. Несколько позже Колтон выяснил, что Кеннеди и Купер уже исследовали эту проблему.