Весьма избыточное число

Весьма избыточное число или высокоизбыточное число —это натуральное число, сумма делителей которого (включая само число)больше суммы делителей любого меньшего натурального числа.
 Высокоизбыточные числа и некоторые подобные классы чисел ввёл Пиллай, араннюю работу на эту тему сделали Алаоглу и Эрдёш. Алаоглу и Эрдёшперечислили все высокоизбыточные числа вплоть до 104 ипоказали, что число высокоизбыточных чисел, меньших N, по меньшеймере пропорционально log2 N.

Формальное определение ипримеры


 Формально, натуральное число n называется весьма избыточным тогдаи только тогда, когда для всех натуральных чисел m \textlessn
σ(n)>σ(m)
σ(n)>σ(m)
,
 где σ означает функцию «сумма делителей». Несколько первыхвысокоизбыточных чисел

 1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 16, 18, 20, 24, 30, 36, 42, 48, 60, ... .
 Например, 5 не высокоизбыточно, поскольку σ(5) = 5+1 = 6 меньше, чемσ(4) = 4 + 2 + 1 = 7, в то время как 8 высокоизбыточно, поскольку σ(8) =8 + 4 + 2 + 1 = 15 больше, чем все предыдущие значения σ.
 Кроме чисел 1 и 3, других высокоизбыточных нечётных чисел нет

Связь с другими множествамичисел


 Хотя первые восемь факториалов являются высокоизбыточными, таковымибудут не все факториалы. Например,

 σ(9!) = σ(362880) = 1481040,
 но существует меньшее число с большей суммой делителей,

 σ(360360) = 1572480,
 так что 9! не высокоизбыточно.
 Алаоглу и Эрдёш заметили, что все являются высокоизбыточными, ипоставили вопрос, существует ли бесконечное число высокоизбыточныхчисел, не являющихся суперизбыточными. На этот вопрос утвердительноответил Жан-Луис Николас.
 Вопреки терминологии, не все высокоизбыточные числа являютсяизбыточными. В частности, ни одно из семи первых высокоизбыточных чиселне является избыточным.
 7200 является наибольшим полнократным числом, являющимся одновременновысокоизбыточным, все большие высокоизбыточные числа имеют простоймножитель, делящий число только однократно. По той же причине 7200является наибольшим высокоизбыточным числом с нечётной суммой делителей.