Число Вудала

 В теории чисел число Вудала (W_n) — любое натуральное число вида
 
  Wn=n⋅2n−1$W_n=n\cdot 2^n-1$
  для некоторого натурального n. Несколько первых чисел Вудала:
 
  1, 7, 23, 63, 159, 383, 895, \ldots .
  Числа Вудала были впервые изучены и в 1917, воодушевлённые более ранними исследованиями Джеймса Каллена подобным образом определённых чисел Каллена. Числа Вудала странным образом проявились в теореме Гудстейна.
 Числа Вудала, являющиеся простыми числами, называются простыми числами Вудала. Несколько первых экспонент n, для которых соответствующие числа Вудала W_n простые:
 
  2, 3, 6, 30, 75, 81, 115, 123, 249, 362, 384, \ldots .
  Сами же простые числа Вудала образуют последовательность:
 
  7, 23, 383, 32212254719, \ldots .
  В 1976 году показал, что почти все числа Каллена составные. Доказательство Кристофера Хулей было переработано математиком Хирми Суяма чтобы показать, что оно верно для любой последовательности чисел n⋅2n+a+b$n\cdot 2^{n+a}+b$, где a и b целые числа, и частично также для чисел Вудала. Предполагают, что существует бесконечно много простых чисел Вудала. К декабрю 2007 года наибольшее известное простое число Вудала — 3752948⋅23752948−1$3752948\cdot 2^{3752948}-1$. Оно имеет 1 129 757 цифр и было найдено Матью Томпсоном (Matthew J. Thompson) в 2007 в проекте распределённых вычислений PrimeGrid.
 Подобно числам Каллена, числа Вудала имеют много свойств делимости. Например, если p простое число, то p делит
 
  W(p+1)/2$W_{(p+1)/2}$, если символ Якоби (2p)$\left(\frac{2}{p}\right)$ равен +1 и
 
 
 W(3p−1)/2$W_{(3p-1)/2}$, если символ Якоби (2p)$\left(\frac{2}{p}\right)$ равен −1.
  Обобщённое число Вудала определяется как число вида n⋅bn−1$n\cdot b^n-1$, где n + 2 \textgreater b. Если простое число можно записать в таком виде, его называют обобщённым простым числом Вудала.