Числа Белла

 В комбинаторике числом Белла Bn называется число всех неупорядоченных разбиений n-элементного множества, при этом по определению полагают B0=1.

Численные значения


 Значения чисел Белла Bn для n=0,1,2, образуют последовательность:

  1,

Явные формулы


 Число Белла можно вычислить как сумму чисел Стирлинга второго рода:

Bn=m=0nS(n,m)
  Для чисел Белла справедлива также формула Добинского:

Bn=1ek=0knk!.
  Числа Белла можно задать в рекуррентном виде:

Bn+1=k=0n(nk)Bk.

Свойства


 Если p простое, то верно сравнение Тушара:

Bn+pBn+Bn+1(modp)
  и более общее:
Bn+pmmBn+Bn+1(modp).

Производящая функция


 Экспоненциальная производящая функция чисел Белла имеет вид

n=0Bnn!xn=eex1.