Фигурные числа

Фигурные числа — общее название чисел, связанных с той илииной геометрической фигурой. Это историческое понятие восходит кпифагорейцам. Предположительно, с понятием фигурного числа связановыражение «возвести число в квадрат или в куб».

Виды фигурныхчисел


 Со времён пифагорейцев традиционно различают следующие виды фигурныхчисел (они определены, например, в VII книге «Начал» Евклида):

  • Линейные числа — числа, не разлагающиеся на сомножители, то есть их ряд совпадает с рядом простых чисел, дополненным единицей (у Евклида используется термин «первые числа», πρώτοι αριθμοί):
      1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, \ldots
  • Плоские числа — числа, представимые в виде произведения двух сомножителей, то есть составные:
      4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 54, 55, 56, 57, 58, 60, 62, 63, 64, 65, 66, 68, 69, 70, 72, 74, 75, 76, 77, 78, 80, 81, 82, 84, 85, 86, 87, 88, \ldots
    • Частным случаем являются прямоугольные числа, являющееся произведением двух последовательных целых чисел, то есть имеющие вид n(n+1).

  • Телесные числа — числа, представимые произведением трёх сомножителей:
      8, 12, 16, 18, 20, 24, 27, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 44, 45, 48, 50, 52, 54, 56, 60, 63, 64, 66, 68, 70, 72, 75, 76, 78, 80, 81, 84, 88, 90, 92, 96, 98, 99, 100, 102, 104, 105, 108, 110, 112, 114, 116, 117, 120, 124, 125, 126, 128, 130, 132, 135, 136, 138, 140, 144, \ldots
  • Многоугольные числа — числа, ассоциированные с определённым многоугольником, определение см. ниже.

Классические многоугольныечисла


Определение и общийвид


 Общее определение: n-е по порядку k-угольное число P(k)n естьсумма n членов арифметической прогрессии, у которой первый член есть1, а разность равна k2. Например, треугольные числа получаются какчастичные суммы ряда 1+2+3+4, а четырёхугольным (квадратным)числам соответствует ряд 1+3+5+7.
 Последовательность k-угольных чисел имеет вид:
1,k,3k3,6k8,10k15,15k24,21k35,28k48,36k63,45k80n+(k2)n(n1)2
Другие варианты общего формата представления n-го по порядкуk-угольного числа:

P(k)n=n((k2)(n1)+2)2=(k2)n2(k4)n2.
 При увеличении числа сторон k на единицу соответствующие фигурныечисла изменяются согласно формуле Никомаха:

P(k+1)n=P(k)n+P(3)n1

Историческийочерк


 Фигурные числа, по мнению пифагорейцев, играют важную роль в структуремироздания. Поэтому их изучением занимались многие математикиантичности: Эратосфен, Гипсикл, Диофант Александрийский и другие.Гипсикл (II век до н. э.) дал общее определение -угольного числаP(k)n как суммы членов арифметической прогрессии, у которой первыйчлен есть 1, а разность равна m2. Диофант написал большоеисследование о свойствах многоугольных чисел, фрагменты которого дошлидо наших дней. О фигурных числах много говорится в пифагорейскихучебниках арифметики, созданных Никомахом Геразским и Теоном Смирнским(II век), которые установили ряд зависимостей между фигурными числамиразных размерностей. Большой интерес к фигурным числам проявилииндийские математики и первые математики средневековой Европы(Фибоначчи, Пачоли, Кардано и др.).
 В Новое время многоугольными числами занимались Ферма, Валлис, Эйлер,Лагранж, Гаусс и другие. Ферма сформулировал в 1637 году так называемую«золотую теорему»:

  • Всякое натуральное число — либо треугольное, либо сумма двух или трёх треугольных чисел;
  • Всякое натуральное число — либо квадратное, либо сумма двух, трёх или четырёх квадратных чисел (Теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов);
  • Всякое натуральное число — либо пятиугольное, либо сумма от двух до пяти пятиугольных чисел;
  • и т. д.

 Этой теоремой занимались многие выдающиеся математики, полноедоказательство сумел дать Коши в 1813 году.

Треугольныечисла


 Последовательность треугольных чисел:

 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153,171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496,528, 561, 595, 630, 666, 703, 741, 780, 820, 861, 903, 946, 990, 1035,1081, 1128, 1176, 1225, 1275, 1326, 1378, 1431, \ldots,n(n+1)2, \ldots
 Свойства:

  • Сумма двух последовательных треугольных чисел даёт полный квадрат (квадратное число).
  • Чётность элемента последовательности меняется с периодом 4: нечётное, нечётное, чётное, чётное.
  • Ряд из чисел, обратных треугольным, сходится:



 1+\{1 \{over 3\}+\{1 \{over 6\}+\{1\{over 10\}+\{1 \{over15\}+\{dots=2\{sum\_\{n=1\}\^\{\{infty\}\{left(\{1\{over n\}-\{1 \{overn+1\}\{right)

 \texttt= 2\texttt 

  • Всякое чётное совершенное число является треугольным (и одновременно шестиугольным).

Квадратныечисла


 Квадратные числа представляют собой произведение двух одинаковыхнатуральных чисел, то есть являются полными квадратами:

 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289,324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961,1024, 1089, 1156, 1225, 1296, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681, 1764, 1849,1936, 2025, 2116, 2209, 2304, 2401, 2500, \ldots, n2, \ldots
 Свойства.

  • Каждое квадратное число, кроме единицы, есть сумма двух последовательных треугольных чисел:



4=1+3;9=3+6;16=6+10 и т. д.


  • Ряд обратных квадратов сходится:



n=11n2=112+122++1n2+=π26


  • Гипотеза Лежандра (1808 год, она же третья проблема Э. Ландау): между последовательными квадратными числами всегда найдётся простое число. До сих пор не доказана.

Пятиугольныечисла



 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210, 247, 287, 330, 376,425, 477, 532, 590, 651, 715, 782, 852, 925, 1001, 1080, 1162, 1247,1335, 1426, 1520, 1617, 1717, 1820, 1926, 2035, 2147, 2262, 2380, 2501,2625, 2752, 2882, 3015, 3151, \ldots, n(3n1)2, \ldots

Шестиугольныечисла





 1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, 276, 325, 378, 435, 496,561, 630, 703, 780, 861, 946, 1035, 1128, 1225, 1326, 1431, 1540, 1653,1770, 1891, 2016, 2145, 2278, 2415, 2556, 2701, 2850, 3003, 3160, 3321,3486, 3655, 3828, 4005, 4186, 4371, 4560 \ldots, 2n2n, \ldots
 Очевидно, последовательность шестиугольных чисел получается изпоследовательности треугольных чисел вычёркиванием элементов с чётныминомерами: P(6)n=P(3)2n1

Двенадцатиугольныечисла



 1, 12, 33, 64, 105, 156, 217, 288, 369, 460, 561, 672, 793, 924, 1065,1216, 1377, 1548, 1729, 1920, 2121, 2332, 2553, 2784, 3025, 3276, 3537,3808, 4089, 4380, 4681, 4992, 5313, 5644, 5985, 6336, 6697, 7068, 7449,7840, 8241, 8652, 9073, 9504, 9945 \ldots, n2+4(n2n), ...
 Эквивалентный формат представления n-го элемента: 5n24n.

Центрированные многоугольныечисла


Центрированные полигональныечисла


 Центрированные полигональные числа — это класс фигурных чисел, каждоесформировано вокруг центральной точки, окружённой слоями многоугольниковс постоянным числом сторон. Каждый слой содержит на одну точку большечем предыдущий., так что начиная со второго слоя каждый слойk-угольного числа содержит на k больше точек, чем предыдущий. Каждаяпоследовательность может быть представлена как треугольное число,умноженное на константу плюс 1. Так, например, центрированные квадратныечисла — это учетверённые треугольные числа плюс 1.

Частные случаи центрированных полигональныхчисел



agraphЦентрированные треугольныечисла
 Центрированное треугольное число — это центрированное полигональноечисло, которое представляет треугольник с точкой в центре и всеостальные окружающие точки находятся на треугольных слоях.Центрированное треугольное число задается формулой3n2+3n+22. Первые несколько центрированных треугольныхчисел:

 1, 4, 10, 19, 31, 46, 64, 85, 109, 136, 166, 199, 235, 274, 316, 361,409, 460, 514, 571, 631, 694, 760, 829, 901, 976, 1054, 1135, 1219,1306, 1396, 1489, 1585, 1684, 1786, 1891, 1999, 2110, 2224, 2341, 2461,2584, 2710, 2839, 2971, \ldots, 3n2+3n+22, \ldots
 Каждое центрированное треугольное число, начиная с 10, является суммойтрех последовательных треугольных чисел. Также, каждое центрированноетреугольное число при делении на 3 дает остаток 1 и частное (если оноположительно), есть предыдущее треугольное число. Сумма первых nцентрированных треугольных чисел есть магическая константа длямагического квадрата n×n(n>2).
Центрированные треугольные простыечисла
 Центрированное треугольное простое — это центрированное треугольноечисло, являющееся простым. Несколько первых центрированных треугольныхпростых:

 19, 31, 109, 199, 409, \ldots .

agraphЦентрированные квадратныечисла
 Центрированное квадратное число — это центрированное полигональноечисло, которое представляет квадрат с точкой в центре и все остальныеокружающие точки находятся на квадратных слоях. Первые несколькоцентрированных квадратных чисел:

 1, 5, 13, 25, 41, 61, 85, 113, 145, 181, 221, 265, 313, 365, 421, 481,545, 613, 685, 761, 841, 925, 1013, 1105, 1201, 1301, 1405, 1513, 1625,1741, 1861, 1985, 2113, 2245, 2381, 2521, 2665, 2813, 2965, 3121, 3281,3445, 3613, 3785, 3961, 4141, 4325, \ldots, n2+(n1)2,\ldots
 Формулу можно представить следующим образом

C4,n=(2n1)2+12;
 таким образом, n-ое центрированное квадратное число равнополовине n-ого нечетного квадрата + 1/2. Как и другие центрированныеполигональные числа, центрированные квадратные числа могут быть выраженыв треугольных числах:

C4,n=1+4Tn1,
 где

Tn
 есть n-ое треугольное число. Центрированное квадратное число — этосумма двух последовательных квадратов. Все центрированные квадратныечисла нечетны, и последняя цифра в десятичном представлении даетпоследовательность 1-5-3-5-1.Все центрированные квадратные числа и ихделители дают остаток 1 при делении на 4. Отсюда все центрированныеквадратные числа и их делители сравнимы с 1 или 5 по модулю 6,8 или 12.Все центрированные квадратные числа за исключением 1 есть гипотенуза водном из пифагоровой тройке (например, 3-4-5, 5-12-13). Таким образом,каждое центрированное квадратное число равно числу точек внутри данногорасстояния в кварталах от центральной точки на квадратной решетке.Разность между двумя последовательными восьмиугольными числами естьцентрированное квадратное число.
Центрированные квадратные простыечисла
 Центрированные квадратные простые — это центрированные квадратныечисла, являющиеся также простыми. В отличие от обычных квадратных чисел,которые никогда не являются простыми, несколько центрированныхквадратных чисел просты. Несколько первых центрированных квадратныхпростых:

 5, 13, 41, 61, 113, 181, 313, 421, 613, 761, 1013, 1201, 1301, 1741,1861, 2113, 2381, 2521, 3121, 3613, \ldots . Замечательный примерможно увидеть в магическом квадрате 10-го столетия ал-Антаакии.

agraphЦентрированные пятиугольныечисла
 Центрированное пятиугольное число — это центрированное фигурное число,которое представляет пятиугольник, который содержит точку в центре и всеточки, окружающие центр лежат в пятиугольных слоях. Центрированноепятиугольное число задается формулой 5(n1)2+5(n1)+22.Несколько первых центрированных пятиугольных чисел:

 1, 6, 16, 31, 51, 76, 106, 141, 181, 226, 276, 331, 391, 456, 526, 601,681, 766, 856, 951, 1051, 1156, 1266, 1381, 1501, 1626, 1756, 1891,2031, 2176, 2326, 2481, 2641, 2806, 2976, \ldots,5(n1)2+5(n1)+22, \ldots
 Четность центрированных пятиугольных чисел подчиняется правилучетное-четное-нечетное -нечетное, и последняя десятичная цифраподчиняется правилу 6-6-1-1.

agraphЦентрированные шестиугольныечисла
 Центрированные шестиугольные числа — это центрированные фигурныечисла, которые представляют шестиугольник с точкой в центре и всеостальные окружающие точки находятся в шестиугольной решётке.Центрированное шестиугольное число задается формулойn3(n1)3=3n(n1)+1. Несколько первых центрированных шестиугольныхчисел:

 1, 7, 19, 37, 61, 91, 127, 169, 217, 271, 331, 397, 469, 547, 631, 721,817, 919, \ldots, 1+6(12n(n1)), \ldots
 Можно заметить, что по основанию 10 последний знак центрированныхшестиугольных чисел имеют последовательность 1-7-9-7-1. Сумма первых nцентрированных шестиугольных чисел равна n3. Таким образом,центрированные шестиугольные пирамидальные числа и кубы являются те мичислами, но представляют различные (геометрические) формы. С другойстороны, центрированные шестиугольные числа — это разность двухсоседних кубов, так что центрированные шестиугольные числа — этофигурное представление кубов. Также, простые центрированныешестиугольные числа есть кубические простые числа. Также(2n)2C6,n=3n2+3n1.

agraphЦентрированные семиугольныечисла
 Центрированное семиугольное число — это центрированное фигурное число,которое представляет семиугольник с точкой в середине и все окружающиеточки лежат на семиугольных слоях. Центрированное семиугольное числозадается формулой 7n27n+22. Его можно также вычислитьумножением треугольного числа (n1) на 7, затем добавив 1. Несколькопервых центрированных семиугольных чисел:

 1, 8, 22, 43, 71, 106, 148, 197, 253, 316, 386, 463, 547, 638, 736, 841,953, \ldots, 7n27n+22, \ldots
 Четность центрированных семиугольных чисел меняется по правилунечетный-четный-нечетный-четный.
Центрированные семиугольные простыечисла
 Центрированные семиугольные простые — это центрированные семиугольныечисла, являющиеся простыми. Несколько первых центрированных семиугольныхпростых:

 43, 71, 197, 463, 547, 953, 1471, 1933, 2647, 2843, 3697, \ldots
 и центрированных семиугольных простых простых-близнецов:

 43, 71, 197, 463, 1933, 5741, 8233, 9283, 11173, 14561, 34651, \ldots


agraphЦентрированные восьмиугольныечисла
 Центрированное восьмиугольное число — это центрированное фигурноечисло, которое представляет восьмиугольник с точкой в середине и всеокружающие точки лежат на восьмиугольных слоях. Центрированноевосьмиугольное число задается формулой (2n1)2=4n24n+1. Несколькопервых центрированных восьмиугольных чисел:

 1, 9, 25, 49, 81, 121, 169, 225, 289, 361, 441, 529, 625, 729, 841, 961,1089.
 Все центрированные восьмиугольные числа нечетны, и по модулю 10 имеютпоследовательность остатков 1-9-5-9-1. Нечетное число являетсяцентрированным восьмиугольным числом тогда и только тогда, когда оноявляется квадратом целого числа.

agraphЦентрированные девятиугольныечисла
 Центрированное девятиугольное число — это центрированное фигурноечисло, которое представляет девятиугольник с точкой в середине и всеокружающие точки лежат на девятиугольных слоях. Умножая (n1)-оетреугольное число на 9 и добавляя 1 получим n-ое центрированноедевятиугольное число, но имеется и более простая связь с треугольнымичислами — каждое третье треугольное число (1-е, 4-е, 7-е, и т. д.)также центрированное девятиугольное число. Первые несколькоцентрированных девятиугольных чисел:

 1, 10, 28, 55, 91, 136, 190, 253, 325, 406, 496, 595, 703, 820, 946,\ldots
 За исключением 6, все четные совершенные числа являются такжецентрированными девятиугольными числами. В 1850-м году, Поллок высказалпредположение, что любое натуральное есть сумма максимум одиннадцатицентрированных девятиугольных чисел, которое ни доказано ниопровергнуто.

agraphЦентрированные десятиугольныечисла
 Центрированное десятиугольное число — это центрированное фигурноечисло, которое представляет десятиугольник с точкой в середине и всеокружающие точки лежат на десятиугольных слоях. Центрированноедесятиугольное число задается формулой 5(n2n)+1. Первые несколькоцентрированных десятиугольных чисел:

 1, 11, 31, 61, 101, 151, 211, 281, 361, 451, 551, 661, 781, 911, 1051,\ldots, 5(n2n)+1, \ldots
 Подобно другим k-угольным числам, n-ое центрированное десятиугольноечисло можно вычислить, умножая (n1)-ое треугольное число на k, внашем случае 10, затем добавляя 1. Как следствие, центрированныедесятиугольные числа могут быть получены просто добавлением 1 кдесятичному представлению числа. Таким образом, все центрированныедесятиугольные числа нечётны и всегда оканчиваются на 1 в десятичномпредставлении. Заметьте, что следующие совершенные числа встречаются всписке:

 3-е центрированное девятиугольное число есть 7×8÷2=28, и11-е есть 31×32÷2=496.
 Далее: 43-е есть 127×128÷2=8128 и 2731-е есть8191×8192÷2=33550336.
 За исключением 6, все четные совершенные числа являются такжецентрированными девятиугольными числами, по формуле

Nc(2p+13)=2p1(2p1), где 2p1 —простые числа Мерсена.

Центрированные десятиугольные простыечисла
 Центрированные десятиугольные простые — это центрированноедесятиугольное число, которое является простым. Несколько первыхцентрированных десятиугольных простых:

 11, 31, 61, 101, 151, 211, 281, 661, 911, 1051, 1201, 1361, 1531, 1901,2311, 2531, 3001, 3251, 3511, 4651, 5281, \ldots.

Многомерные фигурныечисла


 Можно определить многомерные фигурные числа, частными случаями которыхявляются:

  • Изоэдральные многомерные фигурные числа. Пример: .
  • Элементарные многомерные фигурные числа:
    • Гиперкубические: Akn=nk
    • Симплексные: Pkn=(n1+kk)=(n1+k)!(n1)!k!. В частности, P2n — это треугольные числа, P3n — тетраэдрические числа.
    • Гипероктаэдрные: Tkn=Tk1n+Tkn1+Tk1n1, где T1n=n. Пример: .

  • Трёхмерные правильные фигурные числа:
    P3n=n+(e2)n(n1)2+(fm)(k2)n(n1)(n2)6,


 где e — число вершин многогранника, f — число егограней, k — число сторон каждой грани, m — числограней, примыкающих к каждой вершине. Примеры: последовательностиA006566, A006564, A005900.

  • Четырехмерные правильные фигурные числа:
    P4n=n+(E2)n(n1)2+(Gmf2)(fm)(k2)n(n1)(n2)6+(Gmf)(fm)(k2)n(n1)(n2)(n3)24,


 где E — число вершин, G — число граней mf — числомногогранных углов вершины. Примеры: последовательности A092182,A092181, A092183.

Трёхмерные правильные фигурныечисла



agraphТетраэдрическиечисла
 Файл:Pyramid of 35 spheresanimation.gifthumbТетраэдр с длиной стороны 5содержит 35 сфер. Каждый слой представляет одно из первых пятитреугольных чисел.
 В математике пирамидальное число или квадратное пирамидальное число —фигурное число, представляющее собой количество сложенных сфер впирамиде с квадратным основанием. Квадратные пирамидальные числа такжевыражают количество квадратов в сетке N×N. Квадратныепирамидальные числа образуют последовательность:

 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, \ldots .
Формула
 Квадратные пирамидальные числа могут быть вычислены по формуле:

n(n+1)(2n+1)6=2n3+3n2+n6.