Фигурные числа

Фигурные числа — общее название чисел, связанных с той или иной геометрической фигурой. Это историческое понятие восходит к пифагорейцам. Предположительно, с понятием фигурного числа связано выражение «возвести число в квадрат или в куб».

Виды фигурных чисел


 Со времён пифагорейцев традиционно различают следующие виды фигурных чисел (они определены, например, в VII книге «Начал» Евклида):

  • Линейные числа — числа, не разлагающиеся на сомножители, то есть их ряд совпадает с рядом простых чисел, дополненным единицей (у Евклида используется термин «первые числа», πρώτοι αριθμοί):
      1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, \ldots
  • Плоские числа — числа, представимые в виде произведения двух сомножителей, то есть составные:
      4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 54, 55, 56, 57, 58, 60, 62, 63, 64, 65, 66, 68, 69, 70, 72, 74, 75, 76, 77, 78, 80, 81, 82, 84, 85, 86, 87, 88, \ldots
    • Частным случаем являются прямоугольные числа, являющееся произведением двух последовательных целых чисел, то есть имеющие вид n(n+1).

  • Телесные числа — числа, представимые произведением трёх сомножителей:
      8, 12, 16, 18, 20, 24, 27, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 44, 45, 48, 50, 52, 54, 56, 60, 63, 64, 66, 68, 70, 72, 75, 76, 78, 80, 81, 84, 88, 90, 92, 96, 98, 99, 100, 102, 104, 105, 108, 110, 112, 114, 116, 117, 120, 124, 125, 126, 128, 130, 132, 135, 136, 138, 140, 144, \ldots
  • Многоугольные числа — числа, ассоциированные с определённым многоугольником, определение см. ниже.

Классические многоугольные числа


Определение и общий вид


 Общее определение: n-е по порядку k-угольное число Pn(k) есть сумма n членов арифметической прогрессии, у которой первый член есть 1, а разность равна k2. Например, треугольные числа получаются как частичные суммы ряда 1+2+3+4, а четырёхугольным (квадратным) числам соответствует ряд 1+3+5+7.
 Последовательность k-угольных чисел имеет вид:
1,k,3k3,6k8,10k15,15k24,21k35,28k48,36k63,45k80n+(k2)n(n1)2
Другие варианты общего формата представления n-го по порядку k-угольного числа:

Pn(k)=n((k2)(n1)+2)2=(k2)n2(k4)n2.
  При увеличении числа сторон k на единицу соответствующие фигурные числа изменяются согласно формуле Никомаха:

Pn(k+1)=Pn(k)+Pn1(3)

Исторический очерк


 Фигурные числа, по мнению пифагорейцев, играют важную роль в структуре мироздания. Поэтому их изучением занимались многие математики античности: Эратосфен, Гипсикл, Диофант Александрийский и другие. Гипсикл (II век до н. э.) дал общее определение -угольного числа Pn(k) как суммы членов арифметической прогрессии, у которой первый член есть 1, а разность равна m2. Диофант написал большое исследование о свойствах многоугольных чисел, фрагменты которого дошли до наших дней. О фигурных числах много говорится в пифагорейских учебниках арифметики, созданных Никомахом Геразским и Теоном Смирнским (II век), которые установили ряд зависимостей между фигурными числами разных размерностей. Большой интерес к фигурным числам проявили индийские математики и первые математики средневековой Европы (Фибоначчи, Пачоли, Кардано и др.).
 В Новое время многоугольными числами занимались Ферма, Валлис, Эйлер, Лагранж, Гаусс и другие. Ферма сформулировал в 1637 году так называемую «золотую теорему»:

  • Всякое натуральное число — либо треугольное, либо сумма двух или трёх треугольных чисел;
  • Всякое натуральное число — либо квадратное, либо сумма двух, трёх или четырёх квадратных чисел (Теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов);
  • Всякое натуральное число — либо пятиугольное, либо сумма от двух до пяти пятиугольных чисел;
  • и т. д.

 Этой теоремой занимались многие выдающиеся математики, полное доказательство сумел дать Коши в 1813 году.

Треугольные числа


 Последовательность треугольных чисел:

  1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666, 703, 741, 780, 820, 861, 903, 946, 990, 1035, 1081, 1128, 1176, 1225, 1275, 1326, 1378, 1431, \ldots, n(n+1)2, \ldots
  Свойства:

  • Сумма двух последовательных треугольных чисел даёт полный квадрат (квадратное число).
  • Чётность элемента последовательности меняется с периодом 4: нечётное, нечётное, чётное, чётное.
  • Ряд из чисел, обратных треугольным, сходится:



  1+\{1 \{over 3\}+\{1 \{over 6\}+\{1 \{over 10\}+\{1 \{over 15\}+\{dots=2\{sum\_\{n=1\}\^\{\{infty\}\{left(\{1 \{over n\}-\{1 \{over n+1\}\{right)

 \texttt= 2\texttt 

  • Всякое чётное совершенное число является треугольным (и одновременно шестиугольным).

Квадратные числа


 Квадратные числа представляют собой произведение двух одинаковых натуральных чисел, то есть являются полными квадратами:

  1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1024, 1089, 1156, 1225, 1296, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681, 1764, 1849, 1936, 2025, 2116, 2209, 2304, 2401, 2500, \ldots, n2, \ldots
  Свойства.

  • Каждое квадратное число, кроме единицы, есть сумма двух последовательных треугольных чисел:



4=1+3;9=3+6;16=6+10 и т. д.


  • Ряд обратных квадратов сходится:



n=11n2=112+122++1n2+=π26


  • Гипотеза Лежандра (1808 год, она же третья проблема Э. Ландау): между последовательными квадратными числами всегда найдётся простое число. До сих пор не доказана.

Пятиугольные числа



 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210, 247, 287, 330, 376, 425, 477, 532, 590, 651, 715, 782, 852, 925, 1001, 1080, 1162, 1247, 1335, 1426, 1520, 1617, 1717, 1820, 1926, 2035, 2147, 2262, 2380, 2501, 2625, 2752, 2882, 3015, 3151, \ldots, n(3n1)2, \ldots

Шестиугольные числа





  1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, 276, 325, 378, 435, 496, 561, 630, 703, 780, 861, 946, 1035, 1128, 1225, 1326, 1431, 1540, 1653, 1770, 1891, 2016, 2145, 2278, 2415, 2556, 2701, 2850, 3003, 3160, 3321, 3486, 3655, 3828, 4005, 4186, 4371, 4560 \ldots, 2n2n, \ldots
  Очевидно, последовательность шестиугольных чисел получается из последовательности треугольных чисел вычёркиванием элементов с чётными номерами: Pn(6)=P2n1(3)

Двенадцатиугольные числа



  1, 12, 33, 64, 105, 156, 217, 288, 369, 460, 561, 672, 793, 924, 1065, 1216, 1377, 1548, 1729, 1920, 2121, 2332, 2553, 2784, 3025, 3276, 3537, 3808, 4089, 4380, 4681, 4992, 5313, 5644, 5985, 6336, 6697, 7068, 7449, 7840, 8241, 8652, 9073, 9504, 9945 \ldots, n2+4(n2n), ...
  Эквивалентный формат представления n-го элемента: 5n24n.

Центрированные многоугольные числа


Центрированные полигональные числа


 Центрированные полигональные числа — это класс фигурных чисел, каждое сформировано вокруг центральной точки, окружённой слоями многоугольников с постоянным числом сторон. Каждый слой содержит на одну точку больше чем предыдущий., так что начиная со второго слоя каждый слой k-угольного числа содержит на k больше точек, чем предыдущий. Каждая последовательность может быть представлена как треугольное число, умноженное на константу плюс 1. Так, например, центрированные квадратные числа — это учетверённые треугольные числа плюс 1.

Частные случаи центрированных полигональных чисел



agraphЦентрированные треугольные числа
 Центрированное треугольное число — это центрированное полигональное число, которое представляет треугольник с точкой в центре и все остальные окружающие точки находятся на треугольных слоях. Центрированное треугольное число задается формулой 3n2+3n+22. Первые несколько центрированных треугольных чисел:

  1, 4, 10, 19, 31, 46, 64, 85, 109, 136, 166, 199, 235, 274, 316, 361, 409, 460, 514, 571, 631, 694, 760, 829, 901, 976, 1054, 1135, 1219, 1306, 1396, 1489, 1585, 1684, 1786, 1891, 1999, 2110, 2224, 2341, 2461, 2584, 2710, 2839, 2971, \ldots, 3n2+3n+22, \ldots
  Каждое центрированное треугольное число, начиная с 10, является суммой трех последовательных треугольных чисел. Также, каждое центрированное треугольное число при делении на 3 дает остаток 1 и частное (если оно положительно), есть предыдущее треугольное число. Сумма первых n центрированных треугольных чисел есть магическая константа для магического квадрата n×n(n>2).
Центрированные треугольные простые числа
 Центрированное треугольное простое — это центрированное треугольное число, являющееся простым. Несколько первых центрированных треугольных простых:

  19, 31, 109, 199, 409, \ldots .

agraphЦентрированные квадратные числа
 Центрированное квадратное число — это центрированное полигональное число, которое представляет квадрат с точкой в центре и все остальные окружающие точки находятся на квадратных слоях. Первые несколько центрированных квадратных чисел:

  1, 5, 13, 25, 41, 61, 85, 113, 145, 181, 221, 265, 313, 365, 421, 481, 545, 613, 685, 761, 841, 925, 1013, 1105, 1201, 1301, 1405, 1513, 1625, 1741, 1861, 1985, 2113, 2245, 2381, 2521, 2665, 2813, 2965, 3121, 3281, 3445, 3613, 3785, 3961, 4141, 4325, \ldots, n2+(n1)2, \ldots
  Формулу можно представить следующим образом

C4,n=(2n1)2+12;
  таким образом, n-ое центрированное квадратное число равно половине n-ого нечетного квадрата + 1/2. Как и другие центрированные полигональные числа, центрированные квадратные числа могут быть выражены в треугольных числах:

C4,n=1+4Tn1,
  где

Tn
  есть n-ое треугольное число. Центрированное квадратное число — это сумма двух последовательных квадратов. Все центрированные квадратные числа нечетны, и последняя цифра в десятичном представлении дает последовательность 1-5-3-5-1.Все центрированные квадратные числа и их делители дают остаток 1 при делении на 4. Отсюда все центрированные квадратные числа и их делители сравнимы с 1 или 5 по модулю 6,8 или 12. Все центрированные квадратные числа за исключением 1 есть гипотенуза в одном из пифагоровой тройке (например, 3-4-5, 5-12-13). Таким образом, каждое центрированное квадратное число равно числу точек внутри данного расстояния в кварталах от центральной точки на квадратной решетке. Разность между двумя последовательными восьмиугольными числами есть центрированное квадратное число.
Центрированные квадратные простые числа
 Центрированные квадратные простые — это центрированные квадратные числа, являющиеся также простыми. В отличие от обычных квадратных чисел, которые никогда не являются простыми, несколько центрированных квадратных чисел просты. Несколько первых центрированных квадратных простых:

  5, 13, 41, 61, 113, 181, 313, 421, 613, 761, 1013, 1201, 1301, 1741, 1861, 2113, 2381, 2521, 3121, 3613, \ldots . Замечательный пример можно увидеть в магическом квадрате 10-го столетия ал-Антаакии.

agraphЦентрированные пятиугольные числа
 Центрированное пятиугольное число — это центрированное фигурное число, которое представляет пятиугольник, который содержит точку в центре и все точки, окружающие центр лежат в пятиугольных слоях. Центрированное пятиугольное число задается формулой 5(n1)2+5(n1)+22. Несколько первых центрированных пятиугольных чисел:

  1, 6, 16, 31, 51, 76, 106, 141, 181, 226, 276, 331, 391, 456, 526, 601, 681, 766, 856, 951, 1051, 1156, 1266, 1381, 1501, 1626, 1756, 1891, 2031, 2176, 2326, 2481, 2641, 2806, 2976, \ldots, 5(n1)2+5(n1)+22, \ldots
  Четность центрированных пятиугольных чисел подчиняется правилу четное-четное-нечетное -нечетное, и последняя десятичная цифра подчиняется правилу 6-6-1-1.

agraphЦентрированные шестиугольные числа
 Центрированные шестиугольные числа — это центрированные фигурные числа, которые представляют шестиугольник с точкой в центре и все остальные окружающие точки находятся в шестиугольной решётке. Центрированное шестиугольное число задается формулой n3(n1)3=3n(n1)+1. Несколько первых центрированных шестиугольных чисел:

  1, 7, 19, 37, 61, 91, 127, 169, 217, 271, 331, 397, 469, 547, 631, 721, 817, 919, \ldots, 1+6(12n(n1)), \ldots
  Можно заметить, что по основанию 10 последний знак центрированных шестиугольных чисел имеют последовательность 1-7-9-7-1. Сумма первых n центрированных шестиугольных чисел равна n3. Таким образом, центрированные шестиугольные пирамидальные числа и кубы являются те ми числами, но представляют различные (геометрические) формы. С другой стороны, центрированные шестиугольные числа — это разность двух соседних кубов, так что центрированные шестиугольные числа — это фигурное представление кубов. Также, простые центрированные шестиугольные числа есть кубические простые числа. Также (2n)2C6,n=3n2+3n1.

agraphЦентрированные семиугольные числа
 Центрированное семиугольное число — это центрированное фигурное число, которое представляет семиугольник с точкой в середине и все окружающие точки лежат на семиугольных слоях. Центрированное семиугольное число задается формулой 7n27n+22. Его можно также вычислить умножением треугольного числа (n1) на 7, затем добавив 1. Несколько первых центрированных семиугольных чисел:

  1, 8, 22, 43, 71, 106, 148, 197, 253, 316, 386, 463, 547, 638, 736, 841, 953, \ldots, 7n27n+22, \ldots
  Четность центрированных семиугольных чисел меняется по правилу нечетный-четный-нечетный-четный.
Центрированные семиугольные простые числа
 Центрированные семиугольные простые — это центрированные семиугольные числа, являющиеся простыми. Несколько первых центрированных семиугольных простых:

  43, 71, 197, 463, 547, 953, 1471, 1933, 2647, 2843, 3697, \ldots
  и центрированных семиугольных простых простых-близнецов:

  43, 71, 197, 463, 1933, 5741, 8233, 9283, 11173, 14561, 34651, \ldots


agraphЦентрированные восьмиугольные числа
 Центрированное восьмиугольное число — это центрированное фигурное число, которое представляет восьмиугольник с точкой в середине и все окружающие точки лежат на восьмиугольных слоях. Центрированное восьмиугольное число задается формулой (2n1)2=4n24n+1. Несколько первых центрированных восьмиугольных чисел:

  1, 9, 25, 49, 81, 121, 169, 225, 289, 361, 441, 529, 625, 729, 841, 961, 1089.
  Все центрированные восьмиугольные числа нечетны, и по модулю 10 имеют последовательность остатков 1-9-5-9-1. Нечетное число является центрированным восьмиугольным числом тогда и только тогда, когда оно является квадратом целого числа.

agraphЦентрированные девятиугольные числа
 Центрированное девятиугольное число — это центрированное фигурное число, которое представляет девятиугольник с точкой в середине и все окружающие точки лежат на девятиугольных слоях. Умножая (n1)-ое треугольное число на 9 и добавляя 1 получим n-ое центрированное девятиугольное число, но имеется и более простая связь с треугольными числами — каждое третье треугольное число (1-е, 4-е, 7-е, и т. д.) также центрированное девятиугольное число. Первые несколько центрированных девятиугольных чисел:

  1, 10, 28, 55, 91, 136, 190, 253, 325, 406, 496, 595, 703, 820, 946, \ldots
  За исключением 6, все четные совершенные числа являются также центрированными девятиугольными числами. В 1850-м году, Поллок высказал предположение, что любое натуральное есть сумма максимум одиннадцати центрированных девятиугольных чисел, которое ни доказано ни опровергнуто.

agraphЦентрированные десятиугольные числа
 Центрированное десятиугольное число — это центрированное фигурное число, которое представляет десятиугольник с точкой в середине и все окружающие точки лежат на десятиугольных слоях. Центрированное десятиугольное число задается формулой 5(n2n)+1. Первые несколько центрированных десятиугольных чисел:

  1, 11, 31, 61, 101, 151, 211, 281, 361, 451, 551, 661, 781, 911, 1051, \ldots, 5(n2n)+1, \ldots
  Подобно другим k-угольным числам, n-ое центрированное десятиугольное число можно вычислить, умножая (n1)-ое треугольное число на k, в нашем случае 10, затем добавляя 1. Как следствие, центрированные десятиугольные числа могут быть получены просто добавлением 1 к десятичному представлению числа. Таким образом, все центрированные десятиугольные числа нечётны и всегда оканчиваются на 1 в десятичном представлении. Заметьте, что следующие совершенные числа встречаются в списке:

  3-е центрированное девятиугольное число есть 7×8÷2=28, и 11-е есть 31×32÷2=496.
 Далее: 43-е есть 127×128÷2=8128 и 2731-е есть 8191×8192÷2=33550336.
 За исключением 6, все четные совершенные числа являются также центрированными девятиугольными числами, по формуле

Nc(2p+13)=2p1(2p1), где 2p1 — простые числа Мерсена.

Центрированные десятиугольные простые числа
 Центрированные десятиугольные простые — это центрированное десятиугольное число, которое является простым. Несколько первых центрированных десятиугольных простых:

  11, 31, 61, 101, 151, 211, 281, 661, 911, 1051, 1201, 1361, 1531, 1901, 2311, 2531, 3001, 3251, 3511, 4651, 5281, \ldots.

Многомерные фигурные числа


 Можно определить многомерные фигурные числа, частными случаями которых являются:

  • Изоэдральные многомерные фигурные числа. Пример: .
  • Элементарные многомерные фигурные числа:
    • Гиперкубические: Ank=nk
    • Симплексные: Pnk=(n1+kk)=(n1+k)!(n1)!k!. В частности, Pn2 — это треугольные числа, Pn3 — тетраэдрические числа.
    • Гипероктаэдрные: Tnk=Tnk1+Tn1k+Tn1k1, где Tn1=n. Пример: .

  • Трёхмерные правильные фигурные числа:
    Pn3=n+(e2)n(n1)2+(fm)(k2)n(n1)(n2)6,


  где e — число вершин многогранника, f — число его граней, k — число сторон каждой грани, m — число граней, примыкающих к каждой вершине. Примеры: последовательности A006566, A006564, A005900.

  • Четырехмерные правильные фигурные числа:
    Pn4=n+(E2)n(n1)2+(Gmf2)(fm)(k2)n(n1)(n2)6+(Gmf)(fm)(k2)n(n1)(n2)(n3)24,


  где E — число вершин, G — число граней mf — число многогранных углов вершины. Примеры: последовательности A092182, A092181, A092183.

Трёхмерные правильные фигурные числа



agraphТетраэдрические числа
 Файл:Pyramid of 35 spheres animation.gifthumbТетраэдр с длиной стороны 5 содержит 35 сфер. Каждый слой представляет одно из первых пяти треугольных чисел.
 В математике пирамидальное число или квадратное пирамидальное число — фигурное число, представляющее собой количество сложенных сфер в пирамиде с квадратным основанием. Квадратные пирамидальные числа также выражают количество квадратов в сетке N×N. Квадратные пирамидальные числа образуют последовательность:

  1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, \ldots .
Формула
 Квадратные пирамидальные числа могут быть вычислены по формуле:

n(n+1)(2n+1)6=2n3+3n2+n6.