Центрированные полигональные числа

Центрированные полигональные числа — это класс фигурных чисел, каждое сформировано вокруг центральной точки, окружённой слоями многоугольников с постоянным числом сторон. Каждый слой содержит на больше точек, чем предыдущий (где центр слоем не считается).
 Каждая последовательность может быть представлена как 1 плюс треугольное число, умноженное на число рёбер многоугольника. Так, например, центрированные квадратные числа — это учетверённые треугольные числа плюс 1.
 Эти серии состоят из

  • центрированные треугольные числа 1, 4, 10, 19, 31, \ldots
  • центрированные квадратные числа 1, 5, 13, 25, 41, \ldots
  • центрированные пятиугольные числа 1, 6, 16, 31, 51, \ldots
  • центрированные шестиугольные числа 1, 7, 19, 37, 61, \ldots
  • центрированные семиугольные числа 1, 8, 22, 43, 71, \ldots
  • центрированные восьмиугольные числа 1, 9, 25, 49, 81, \ldots
  • центрированные девятиугольные числа 1, 10, 28, 55, 91, \ldots (, которые включают все чётные совершенные числа, за исключением 6)
  • центрированные десятиугольные числа 1, 11, 31, 61, 101, \ldots

 и так далее.
 Следующие диаграммы показывают несколько примеров центрированных полигональных чисел и их геометрическое представление. (Сравните эти фигуры с фигурами в разделе Фигурные числа.)


Центрированные квадратные числа 
1   7   19   37 - align=``center'' valign=``middle''

 Как видно из приведенных диаграмм, -ое центрированное -угольного число может быть получена размещением копий -х треугольных чисел вокруг центральной точки; поэтому, -ое центрированное -угольного числа может быть выражено как

Ck,n=kn2(n1)+1.
  Так же как и в случае обычных фигурных чисел, первое центрированное -угольного число есть 1. Поэтому, для любого , 1 является как -угольным числом, так и центрированным -угольным. Следующее число, являющееся как -угольным, так и центрированным -угольным, может быть найдено по формуле:

k22(k1)+1
  которая показывает, что 10 является как треугольным, так и центрированным треугольным, а 25 является как четырехугольным, так и центрированным четырехугольным.
 Несмотря на то, что простое число  не может быть фигурным числом (кроме -угольного), многие центрированные многоугольные числа являются простыми.