Центрированные полигональные числа

Центрированные полигональные числа — это класс фигурныхчисел, каждое сформировано вокруг центральной точки, окружённой слоямимногоугольников с постоянным числом сторон. Каждый слой содержит набольше точек, чем предыдущий (где центр слоем не считается).
 Каждая последовательность может быть представлена как 1 плюс треугольноечисло, умноженное на число рёбер многоугольника. Так, например,центрированные квадратные числа — это учетверённые треугольные числаплюс 1.
 Эти серии состоят из

  • центрированные треугольные числа 1, 4, 10, 19, 31, \ldots
  • центрированные квадратные числа 1, 5, 13, 25, 41, \ldots
  • центрированные пятиугольные числа 1, 6, 16, 31, 51, \ldots
  • центрированные шестиугольные числа 1, 7, 19, 37, 61, \ldots
  • центрированные семиугольные числа 1, 8, 22, 43, 71, \ldots
  • центрированные восьмиугольные числа 1, 9, 25, 49, 81, \ldots
  • центрированные девятиугольные числа 1, 10, 28, 55, 91, \ldots (, которые включают все чётные совершенные числа, за исключением 6)
  • центрированные десятиугольные числа 1, 11, 31, 61, 101, \ldots

 и так далее.
 Следующие диаграммы показывают несколько примеров центрированныхполигональных чисел и их геометрическое представление. (Сравните этифигуры с фигурами в разделе Фигурные числа.)


Центрированные квадратные числа 
1   7   19   37 - align=``center''valign=``middle''

 Как видно из приведенных диаграмм, -ое центрированное -угольного числоможет быть получена размещением копий -х треугольных чисел вокругцентральной точки; поэтому, -ое центрированное -угольного числа можетбыть выражено как

Ck,n=kn2(n1)+1.
 Так же как и в случае обычных фигурных чисел, первое центрированное-угольного число есть 1. Поэтому, для любого , 1 является как -угольнымчислом, так и центрированным -угольным. Следующее число, являющееся как-угольным, так и центрированным -угольным, может быть найдено поформуле:

k22(k1)+1
 которая показывает, что 10 является как треугольным, так ицентрированным треугольным, а 25 является как четырехугольным, так ицентрированным четырехугольным.
 Несмотря на то, что простое число  не может быть фигурным числом (кроме-угольного), многие центрированные многоугольные числа являютсяпростыми.