Числа звёздчатого октаэдра

 Файл:StellaOctangulaNumber.jpgthumb240px124 магнитных шара, расположенные в форме звёздчатого октаэдрафигурные числа, подсчитывающие число шаров, которые можно расположить внутри звёздчатого октаэдра. Эти числа равны: 0, 1, , \ldots и в общем случае задаются уравнением n(2n21). Производящая функция чисел звёздчатого октаэдра: x(x2+10x+1)(x1)4=x+14x2+51x3+124x4+...

Формулы


 Поскольку звёздчатый октаэдр можно представить как комбинацию октаэдра и восьми тетраэдров меньшего размера, формула для чисел звёздчатого октаэдра представима как StOctn=On+8Tn1, где On — n-ное октаэдрическое число, а Tn — n-ное тетраэдрическое число. Поскольку On=13n(2n2+1), а Tn1=16(n1)n(n+1), получим StOctn=13n(2n2+1)+86(n1)n(n+1)=13(n(2n2+1)+4(n1)n(n+1))=13(2n3+n+4n34n)=13(6n33n)=n(2n21).
 Рекуррентные формулы On+1=On+(n+1)2+n2 и Tn+1=Tn+(n+1)(n+2)2 позволяют вывести следующие равенства для чисел звёздчатого октаэдра: StOct1=1, StOctn+1=StOctn+6n2+6n+1.

Уравнение Люнггрена


 Единственные числа звёздчатого октаэдра, также являющиеся квадратами это StOct1=1 и StOct169=31072=9653449 Единственность нетривиального решения следует из единственности решения уравенения , диофантова уравнения y2=2x41.