Числа звёздчатого октаэдра

 Файл:StellaOctangulaNumber.jpgthumb240px124магнитных шара, расположенные в форме звёздчатого октаэдрафигурныечисла, подсчитывающие число шаров, которые можно расположить внутризвёздчатого октаэдра. Эти числа равны: 0, 1, , \ldots и в общемслучае задаются уравнением n(2n21). Производящая функция чиселзвёздчатого октаэдра: x(x2+10x+1)(x1)4=x+14x2+51x3+124x4+...

Формулы


 Поскольку звёздчатый октаэдр можно представить как комбинацию октаэдра ивосьми тетраэдров меньшего размера, формула для чисел звёздчатогооктаэдра представима как StOctn=On+8Tn1, где On —n-ное октаэдрическое число, а Tn — n-ное тетраэдрическое число.Поскольку On=13n(2n2+1), аTn1=16(n1)n(n+1), получимStOctn=13n(2n2+1)+86(n1)n(n+1)=13(n(2n2+1)+4(n1)n(n+1))=13(2n3+n+4n34n)=13(6n33n)=n(2n21).
 Рекуррентные формулы On+1=On+(n+1)2+n2 иTn+1=Tn+(n+1)(n+2)2 позволяют вывести следующиеравенства для чисел звёздчатого октаэдра: StOct1=1,StOctn+1=StOctn+6n2+6n+1.

УравнениеЛюнггрена


 Единственные числа звёздчатого октаэдра, также являющиеся квадратами этоStOct1=1 и StOct169=31072=9653449 Единственностьнетривиального решения следует из единственности решения уравенения ,диофантова уравнения y2=2x41.