Processing math: 50%

Квадратное пирамидальное число

 В математике пирамидальное число или квадратноепирамидальное число — фигурное число, представляющее собой количествосложенных сфер в пирамиде с квадратным основанием. Квадратныепирамидальные числа также выражают количество квадратов со сторонами,параллельными осям координат, в сетке .
 Квадратные пирамидальные числа образуют последовательность:

 , \ldots .

Формула


 Квадратные пирамидальные числа могут быть вычислены по формуле:
Pn=nk=1k2=n(n+1)(2n+1)6=2n3+3n2+n6.Это частный случай , который может быть доказан методом прямойматематической индукции. Эквивалентная формула приводится в «Книгеабака» Фибоначчи.
 В современной математике, формализация фигурных чисел происходит спомощью . Многочлен Эрхарта L(P,t) многогранникаP — многочлен, который подсчитывает количество целых точек вкопии многогранника P, который увеличивается путём умножения всехего координат на число t. Многочлен Эрхарта пирамиды, основаниемкоторой является квадрат со стороной 1 с целыми координатами, и вершинакоторой находится на высоте 1 над основанием, вычисляется по формуле:

 (t + 1)(t + 2)(2t + 3)/6 = Pt + 1.

Производящаяфункция


 Производящая функция для квадратных пирамидальных чисел имеет вид:
1x+5x2+14x3+30x4+55x5+=x(x+1)(x1)4.

Связь с другими фигурнымичислами


 Квадратные пирамидальные числа могут быть также выражены в виде суммыбиноминальных коэффициентов:
P_n = \binom{n + 2}{3} + \binom{n + 1}{3}. Биномиальныекоэффициенты, возникающие в этом представленном выражении, — этотетраэдрические числа. Эта формула выражает квадратные пирамидальныечисла в виде суммы двух чисел, так же как любое квадратное числоявляется суммой двух последовательных треугольных чисел. В этой сумме,одно из двух тетраэдрических чисел считает количество шаров в сложеннойпирамиде, которые расположены выше или по одну сторону от диагоналиквадратного основания пирамиды; а второе — расположенных по другуюсторону диагонали. Квадратные пирамидальные числа также связаны стетраэдрическими следующим образом:
P_n=\frac14\binom{2n+2}{3}.
 Сумма двух последовательных квадратных пирамидальных чисел является .
 Проблема нахождения квадратных пирамидальных числе также являющихсяквадратными числами известна как задача об укладке пушечных ядер,сформулированная Люка (1875).