Квадратное пирамидальное число

 В математике пирамидальное число или квадратное пирамидальное число — фигурное число, представляющее собой количество сложенных сфер в пирамиде с квадратным основанием. Квадратные пирамидальные числа также выражают количество квадратов со сторонами, параллельными осям координат, в сетке .
 Квадратные пирамидальные числа образуют последовательность:

 , \ldots .

Формула


 Квадратные пирамидальные числа могут быть вычислены по формуле:
Pn=k=1nk2=n(n+1)(2n+1)6=2n3+3n2+n6.
Это частный случай , который может быть доказан методом прямой математической индукции. Эквивалентная формула приводится в «Книге абака» Фибоначчи.
 В современной математике, формализация фигурных чисел происходит с помощью . Многочлен Эрхарта L(P,t) многогранника P — многочлен, который подсчитывает количество целых точек в копии многогранника P, который увеличивается путём умножения всех его координат на число t. Многочлен Эрхарта пирамиды, основанием которой является квадрат со стороной 1 с целыми координатами, и вершина которой находится на высоте 1 над основанием, вычисляется по формуле:

  (t + 1)(t + 2)(2t + 3)/6 = Pt + 1.

Производящая функция


 Производящая функция для квадратных пирамидальных чисел имеет вид:
1x+5x2+14x3+30x4+55x5+=x(x+1)(x1)4.

Связь с другими фигурными числами


 Квадратные пирамидальные числа могут быть также выражены в виде суммы биноминальных коэффициентов:
Pn=(n+23)+(n+13).
Биномиальные коэффициенты, возникающие в этом представленном выражении, — это тетраэдрические числа. Эта формула выражает квадратные пирамидальные числа в виде суммы двух чисел, так же как любое квадратное число является суммой двух последовательных треугольных чисел. В этой сумме, одно из двух тетраэдрических чисел считает количество шаров в сложенной пирамиде, которые расположены выше или по одну сторону от диагонали квадратного основания пирамиды; а второе — расположенных по другую сторону диагонали. Квадратные пирамидальные числа также связаны с тетраэдрическими следующим образом:
Pn=14(2n+23).

 Сумма двух последовательных квадратных пирамидальных чисел является .
 Проблема нахождения квадратных пирамидальных числе также являющихся квадратными числами известна как задача об укладке пушечных ядер, сформулированная Люка (1875).