Квадратное треугольное число

 В теории чисел квадратным треугольным числом (илитреугольным квадратным числом) называется число, являющееся кактреугольным, так и квадратным. Существует бесконечное число квадратныхтреугольных чисел.
 Квадратные треугольные числа образуют последовательность:

 0, 1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, 55420693056,1882672131025, \ldots .

Формулы


 Будем записывать Nk для k-огоквадратного треугольного числа, sk иtk для сторон квадрата и треугольникасоответственно, тогда
Nk=sk2=tk(tk+1)2.

 Последовательности Nk,sk и tkприсутствуют в OEIS (, и соответственно).
 В 1778 году Леонард Эйлер установил явную формулу
Nk=((3+22)k(322)k42)2.
Другие эквивалентные формулы, которые могут быть выведены из этойформулы:
Nk=132((1+2)2k(12)2k)2=132((1+2)4k2+(12)4k)=132((17+122)k2+(17122)k).
Соответствующие явные формулы дляsk и tk:
sk=(3+22)k(322)k42
и
tk=(3+22)k+(322)k24.

УравнениеПелля


 Связь квадратных треугольных чисел с уравнением Пелля можно получитьследующим образом:
 любое треугольное число имеет вид t(t + 1)/2, так чтонужно найти t и s такие, что
t(t+1)2=s2.

 Немного алгебры, и мы получим
(2t+1)2=8s2+1,

 подставляя теперь x = 2t + 1 и y = 2s, мыполучим диофантово уравнение
x22y2=1
,
 которое является уравнением Пелля. Решениями этого уравнения служатчисла Пелля Pk
x=P2k+P2k1,y=P2k;

 и потому все решения задаются формулами
sk=P2k2,tk=P2k+P2k112,Nk=(P2k2)2.

 Имеется множество тождеств, связанных с числами Пелля, а вышеприведённыеформулы переводят их в тождества с квадратными треугольными числами.

Рекуррентныеотношения


 Имеются рекуррентные отношения для квадратных треугольных чисел, как идля сторон соответствующих квадратов и треугольников. Мы имеем
Nk=34Nk1Nk2+2,N0=0,N1=1.

Nk=(6Nk1Nk2)2,N0=1,N1=36.

 А также
sk=6sk1sk2,s0=0,s1=1;

tk=6tk1tk2+2,t0=0,t1=1.

Другиесвойства


 Все квадратные треугольные числа имеют видb2c2, где b /c — значение подходящей дроби для непрерывной дроби квадратногокорня из 2.
 А. В. Сильвестер (A. V. Sylwester) дал короткое доказательствобесконечности количества квадратных треугольных чисел, а именно:
 Если треугольное число n(n+1)/2 является квадратом, тосуществует большее треугольное число:
(4n(n+1))(4n(n+1)+1)2=22n(n+1)2(2n+1)2.

 И это значение должно быть квадратом, поскольку является произведениемтрех квадратов: 2\^2 (очевидно), (n(n+1))/2 (n-ое треугольное число –по предположению является квадратом) и (2n+1)\^2 (очевидно).
 Производящей функцией для квадратных треугольных чисел будет:
1+z(1z)(z234z+1)=1+36z+1225z2+.

Численныезначения


 С увеличением k, отношение tk /sk стремится к 21.41421,а отношение соседних квадратных треугольных чисел стремится к17+12233.97056.
kNksktktk/skNk/Nk1000011111236681.33333363122535491.434.027784416162042881.4117633.9722451413721118916811.4137933.97061648024900693098001.4141433.970567163143288140391571211.4142033.97056