Тетраэдрические числа

 Файл:Pyramid of 35 spheresanimation.gifthumbПирамида с длиной стороны 5содержит 35 сфер. Каждый слой представляет одно из первых пятитреугольных чисел.фигурные числа, представляющие пирамиду, в основаниикоторой лежит треугольник.
 Пример нескольких первых тетраэдрических чисел:

 1, , \ldots .

Формула


 Формула для n-го тетраэдрического числа:

Tn=n(n+1)(n+2)6.
 Также формула может быть выражена через биномиальные коэффициенты:

Tn=(n+23).
 Тетраэдрические числа находятся на 4-й позиции в треугольнике Паскаля.

Свойства



  • -е тетраэдрическое число представляет собой сумму первых треугольных чисел.
  • Только три тетраэдрических числа являются квадратными числами:
    T1 = = 1,
    T2 = = 4,
    T48 = = .
  • Пять чисел являются треугольными :
    Te1 = Tr1 = 1,
    Te3 = Tr4 = ,
    Te8 = Tr15 = ,
    Te20 = Tr55 = ,
    Te34 = Tr119 = .
  • Единственным пирамидальным числом, которое одновременно квадратное и кубическое, является число 1.
  • Можно заметить, что:
    T5 = T4 + T3 + T2 + T1.
  • Бесконечная сумма обратных величин к тетраэдрическим числам равна 3/2, что может быть получено с помощью телескопического ряда:
     n=16n(n+1)(n+2)=32.

Многомерноеобобщение


 В качестве многомерного обобщения треугольных и тетраэдрических чиселможет рассматриваться количество k-мерных сфер, которые могут бытьупакованы в k-мерный симплекс. Для k-мерного пространства n-ечисло может быть вычислено по следующей формуле:

Tn(k)=i=0k1(n+i)k!.