Треугольное число

Треугольное число — это число кружков, которые могут быть расставлены в форме правильного треугольника (см. рисунок). Очевидно, с чисто арифметической точки зрения, -е треугольное число — это сумма первых натуральных чисел.
 Последовательность треугольных чисел Tn для n=0,1,2, начинается так:

  0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120 \ldots

Свойства



  • Формулы для -го треугольного числа:
    • Tn=12n(n+1);
    • Tn=1+2+3++(n2)+(n1)+n=j=1nj;
    • Tn=(n+12) — биномиальный коэффициент.


  Например, 2016 — это треугольное число: T63=63642=2016.

  • Рекуррентная формула для -го треугольного числа:
    Tn=Tn1+n.
  • Сумма двух последовательных треугольных чисел — это полный квадрат, то есть
    Tn+Tn1=n2.


  Например
 :\{
  6 + 10 = 16     10 + 15 = 25 \}

  • Каждое чётное совершенное число является треугольным.
  • Любое целое неотрицательное число представимо в виде суммы не более трёх треугольных чисел. Утверждение впервые сформулировано в 1638 году Ферма в письме к Мерсенну, а доказано в 1796 году Гауссом.
  • Целое число является треугольным тогда и только тогда, когда число 8m+1 является квадратным.
  • Квадрат -го треугольного числа является суммой кубов первых натуральных чисел.

Обобщения


 Треугольные числа являются частным случаем фигурных чисел.