Полнократное число

Полнократное число — положительное целое число, которое делится нацело квадратом каждого своего простого делителя.
 Эквивалентное определение: число, представимое в виде a2b3, где a и b — положительные целые числа.
 Полнократные числа систематически изучены Палом Эрдёшем и Дьёрдем Секерешем, наименование дано Соломоном Голомбом.
 Список полнократных чисел между 1 и 1000:

  1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72, 81, 100, 108, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 200, 216, 225, 243, 256, 288, 289, 324, 343, 361, 392, 400, 432, 441, 484, 500, 512, 529, 576, 625, 648, 675, 676, 729, 784, 800, 841, 864, 900, 961, 968, 972, 1000.

Эквивалентность двух определений


 Если m=a2b3, то любое простое в разложении a входит дважды, а входящее в b — не менее трёх раз; так что любое простое в разложении m входит не менее, чем в квадрате.
 С другой стороны, пусть m — полнократное число с разложением

m=piαi,
  где каждое αi2. Определим γi равным трём, если αi нечётно, и нулю в противном случае, и определим βi=αiγi. Тогда все значения βi являются неотрицательными чётными целыми, и все значения γi либо равны нулю, либо трём, так что:

m=(piβi)(piγi)=(piβi/2)2(piγi/3)3
  даёт искомое представление m, как произведение квадрата и куба.
 Иными словами, для данного разложения числа m можно взять в качестве b произведение простых множителей, входящих в разложение с нечётными степенями (если таких нет, то 1). Поскольку m — полнократное, каждый простой множитель, входящий в разложение с нечётной степенью, имеет степень не менее 3, так что m/b3 является целым. Теперь каждый простой множитель m/b3 имеет чётную степень, так что m/b3 — полный квадрат, обозначим его как a2; и получается m=a2b3. Например:

m=21600=25×33×52,
b=2×3=6,
a=mb3=22×52=10,
m=a2b3=102×63.

Математические свойства


 Сумма обратных величин полнократных чисел сходится:

p(1+1p(p1))=ζ(2)ζ(3)ζ(6)=3152π4ζ(3),
  где p — обходит все простые числа, ζ(s) — дзета-функция Римана, и ζ(3) — постоянная Апери (Голомб, 1970).
 Пусть k(x) означает количество полнократных чисел в интервале [1,x]. Тогда k(x) пропорционально квадратному корню из x. Точнее:

cx1/23x1/3k(x)cx1/2,c=ζ(3/2)/ζ(3)=2,173.
  Два наименьших последовательных полнократных числа — это 8 и 9. Поскольку уравнение Пелля x28y2=1 имеет бесконечное число решений, то имеется и бесконечное число пар последовательных полнократных чисел Более общо, можно найти последовательные полнократные числа, найдя решение уравнения, похожего на уравнение Пелля, x2ny2=±1 для любого куба n. Однако одно из полнократных чисел в паре, полученной таким образом, должно быть квадратом. Согласно Гаю, Эрдёш задавал вопрос, бесконечно ли число пар полнократных чисел вида (233,2332132, в которых ни одно из чисел в паре не является квадратом. Ярослав Вроблевский показал, что, наоборот, имеется бесконечно много таких пар, показав, что 33c2+1=73d2 имеет бесконечно много решений.
 Согласно гипотезе Эрдёша — Моллина — Уолша, не существует трёх последовательных полнократных чисел.

Суммы и разности полнократных чисел


 Любое нечётное число представимо в виде разности двух последовательных квадратов:

(k+1)2=k2+2k+1(k+1)2k2=2k+1.
  Таким же образом, любое число кратное четырём представимо в виде разности двух чисел, отличающихся на два: (k+2)2k2=4k+4. Однако число, делящееся на два, но не на четыре, нельзя представить в виде разности квадратов, то есть возникает вопрос: какие чётные числа, не делящиеся на 4, могут быть представлены в виде разности двух полнократных чисел.
 Голомб дал несколько таких представлений:

  2 = 33 − 52
 10 = 133 − 37
 18 = 192 − 73 = 32(33 − 52).
  Сначала высказана гипотеза, что число 6 нельзя представить в таком виде, и Голомб предположил, что имеется бесконечно много целых чисел, которые нельзя представить в виде разности двух полнократных чисел. Однако Наркивич обнаружил, что существует бесконечно много способов представления числа 6, например

  6 = 5473 − 4632,
  и Макдэниел показал, что любое число имеет бесконечное число таких представлений .
 Эрдёш высказал гипотезу, что любое достаточно большое целое число является суммой максимум трёх полнократных чисел. Гипотеза была доказана Роджером Хит-Брауном.

Обобщение


k-полнократные числа — числа, в разложении которых простые числа входят со степенью не менее k.
(2k+11)k, 2k(2k+11)k, (2k+11)k+1 являются k-полнократными в арифметической прогрессии.
 Более того, если a1,a2,,as являются k-полнократными в арифметической прогрессии с разностью d, то:

(a1+d)k,a2(as+d)k,,as(as+d)k,as(as+d)k+1
  являются k-полнократными числами в арифметической прогрессии.
 Для k- полнократных чисел имеет место:

ak(al++1)k+ak+1(al++1)++ak+l(al++1)=ak(al++1)k+1.
  Это равенство даёт бесконечно много наборов длины l+1 k- полнократных чисел, суммы которых тоже k-полнократны. Нитадж показал, что имеется бесконечно много решений уравнения x+y=z среди взаимно простых 3-полнократных чисел. Кон сконструировал бесконечное семейство решений уравнения x+y=z среди взаимно простых 3-полнократных чисел: тройка

X=9712247684771506604963490444281,
Y=32295800804958334401937923416351,
Z=27474621855216870941749052236511
  является решением уравнения 32X3+49Y3=81Z3. Возможно сконструировать другое решение, положив X=X(49Y3+81Z3),Y=Y(32X3+81Z3),Z=Z(32X349Y3) и убирая общий делитель.