Простые числа

Простое число  — натуральное (целое положительное) число, имеющее ровно два различных натуральных делителя — и самого себя. Другими словами, число x является простым, если оно больше 1 и при этом делится без остатка только на 1 и на x. К примеру, 5 — простое число, а 6 является составным числом, так как, помимо 1 и 6, также делится на 2 и на 3.
 Натуральные числа, которые больше единицы и не являются простыми, называются составными. Таким образом, все натуральные числа разбиваются на три класса: единицу (имеющую один натуральный делитель), простые числа (имеющие два натуральных делителя) и составные числа (имеющие больше двух натуральных делителей). Изучением свойств простых чисел занимается теория чисел. В теории колец простым числам соответствуют неприводимые элементы.
 Последовательность простых чисел начинается так:

  2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199 \ldots

Разложение натуральных чисел в произведение простых


 Основная теорема арифметики утверждает, что каждое натуральное число, большее единицы, представимо в виде произведения простых чисел, причём единственным способом с точностью до порядка следования сомножителей. Таким образом, простые числа являются элементарными «строительными блоками» натуральных чисел.
 Представление натурального числа в виде произведения простых называется разложением на простые или факторизацией числа. На настоящий момент неизвестны полиномиальные алгоритмы факторизации чисел, хотя и не доказано, что таких алгоритмов не существует. На предполагаемой большой вычислительной сложности задачи факторизации базируется криптосистема RSA и некоторые другие. Факторизация с полиномиальной сложностью теоретически возможна на квантовом компьютере с помощью алгоритма Шора.

Алгоритмы поиска и распознавания простых чисел


 Файл:Eratosthenes.jpgthumb150pxЭратосфен Киренскийрешето Эратосфена, решето Сундарама и решето Аткина.
 Однако, на практике вместо получения списка простых чисел зачастую требуется проверить, является ли данное число простым. Алгоритмы, решающие эту задачу, называются тестами простоты. Существует множество полиномиальных тестов простоты, но большинство их являются вероятностными (например, тест Миллера — Рабина) и используются для нужд криптографии. В 2002 году было доказано, что задача проверки на простоту в общем виде полиномиально разрешима, но предложенный детерминированный тест Агравала — Каяла — Саксены имеет довольно большую вычислительную сложность, что затрудняет его практическое применение.
 Для некоторых классов чисел существуют специализированные эффективные тесты простоты (см. ниже).

Бесконечность множества простых чисел


 Простых чисел бесконечно много. Самое старое известное доказательство этого факта было дано Евклидом в «Началах» (книга IX, утверждение 20). Его доказательство может быть кратко воспроизведено так:
 Математики предлагали другие доказательства. Одно из них (приведённое Эйлером) показывает, что сумма величин, обратных к первым n простым числам, неограниченно растёт с ростом n.
 Теорема о распределении простых чисел утверждает, что количество простых чисел меньших n, обозначаемое π(n), растёт как n/ln(n).

Наибольшее известное простое


 Издавна ведутся записи, отмечающие наибольшие известные на то время простые числа. Один из рекордов поставил в своё время Эйлер, найдя простое число .
 Наибольшим известным простым числом по состоянию является . Оно содержит десятичных цифр и является простым числом Мерсенна (M). Его нашли 17 сентября 2015 года в рамках проекта по распределённому поиску простых чисел Мерсенна GIMPS, однако все проверки завершились лишь 7 января 2016 года.
 Числа Мерсенна выгодно отличаются от остальных наличием эффективного теста простоты: теста Люка — Лемера. Благодаря ему простые числа Мерсенна давно удерживают рекорд как самые большие известные простые.
 За нахождение простых чисел из более чем 100 000 000 и 1 000 000 000 десятичных цифр EFF назначила денежные призы соответственно в 150 000 и 250 000 долларов США. Ранее EFF уже присуждала призы за нахождение простых чисел из 1 000 000 и 10 000 000 десятичных цифр.

Простые числа специального вида


 Существует ряд чисел, простота которых может быть установлена эффективно с использованием специализированных алгоритмов.

  • Числа Мерсенна — числа вида Mn=2n1, где n — натуральное число. При этом число Мерсенна может быть простым, только если n — простое число. Как уже было отмечено выше, эффективным тестом простоты является тест Люка-Лемера.
  • Числа Ферма — числа вида Fn=22n+1, где n — неотрицательное целое число. Эффективным тестом простоты является тест Пепина. По состоянию на февраль 2015 года известно только 5 простых чисел Ферма (для n = 0, 1, 2, 3, 4), двадцать восемь следующих чисел Ферма (до F32 включительно) оказались составными, однако не доказано, что других простых чисел Ферма нет.
  • Числа Вудала — числа вида Wn=n2n1. Эффективным тестом простоты является тест Люка — Лемера — Ризеля.
  • Числа Каллена — числа вида Cn=n2n+1.
  • Числа Прота — числа вида P=k2n+1, причём k нечётно и 2n>k. Эффективным тестом простоты для чисел Прота является тест Бриллхарта — Лемера — Селфриджа . Числа Каллена и числа Ферма являются частным случаем чисел Прота (соответственно при k = n и при k = 1, n=2m).
  • Числа Миллса — числа вида Pn=[A3n], где A — константа Миллса.

 Для поиска простых чисел обозначенных типов в настоящее время используются проекты распределённых вычислений GIMPS, PrimeGrid, Ramsey@Home, Seventeen or Bust, Riesel Sieve, Wieferich@Home.

Некоторые свойства



  • Если  — простое, и делит , то делит или . Доказательство этого факта было дано Евклидом и известно как лемма Евклида. Оно используется в доказательстве основной теоремы арифметики.
  • Кольцо вычетов Zn является полем тогда и только тогда, когда n — простое.
  • Характеристика каждого поля — это ноль или простое число.
  • Если p — простое, а a — натуральное, то apa делится на p (малая теорема Ферма).
  • Если G — конечная группа, порядок которой |G| делится на p, то G содержит элемент порядка p (теорема Коши).
  • Если G — конечная группа, и pn — максимальная степень p, которая делит |G|, то G имеет подгруппу порядка pn, называемую силовской подгруппой, более того, количество силовских подгрупп равно pk+1 для некоторого целого k (теоремы Силова).
  • Натуральное p>1 является простым тогда и только тогда, когда (p1)!+1 делится на p (теорема Вильсона).
  • Если n>1 — натуральное, то существует простое p, такое, что n<p<2n (постулат Бертрана).
  • Ряд чисел, обратных к простым, расходится. Более того, при x
      $\sum_{p
  • Любая арифметическая прогрессия вида a,a+q,a+2q,a+3q,..., где a,q>1 — целые взаимно простые числа, содержит бесконечно много простых чисел (теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии).
  • Всякое простое число, большее 3, представимо в виде 6k+1 или 6k1, где k — некоторое натуральное число. Отсюда, если разность между несколькими последовательными простыми числами (при k\textgreater1) одинакова, то она обязательно кратна 6 — например: 251-257-263-269; 199-211-223; 20183-20201-20219.
  • Если p>3 — простое, то p21 кратно 24 (справедливо также для всех нечётных чисел, не делящихся на 3).
  • Теорема Грина-Тао. Существуют сколь угодно длинные конечные арифметические прогрессии, состоящие из простых чисел.
  • Никакое простое число не может иметь вид nk1, где n\textgreater2, k\textgreater1. Иначе говоря, число, следующее за простым, не может быть квадратом или более высокой степенью с основанием, большим 2. Из этого следует также, что если простое число имеет вид 2k1, то k — простое (см. числа Мерсенна).
  • Никакое простое число не может иметь вид n2k+1+1, где n\textgreater1, k\textgreater0. Иначе говоря, число, предшествующее простому, не может быть кубом или более высокой нечётной степенью с основанием, большим 1.

Формулы для нахождения простых чисел


 В разное время предпринимались попытки указать выражение, значениями которого при разных значениях входящих в него переменных были бы простые числа. Л. Эйлер указал многочлен n2n+41, принимающий простые значения при . Однако при значение многочлена является составным числом. Можно доказать, что не существует многочлена от одной переменной , который принимает простые значения при всех целых . П. Ферма предположил, что все простые; однако Эйлер опроверг эту гипотезу, доказав, что число  — составное.
 Тем не менее, существуют многочлены, множество положительных значений которых при неотрицательных значениях переменных совпадает с множеством простых чисел. Одним из примеров является многочлен
 *: (k+2)(1[wz+h+jq]2[(gk+2g+k+1)(h+j)+hz]2[2n+p+q+ze]2[16(k+1)3(k+2)(n+1)2+1f2]2[e3(e+2)(a+1)2+1o2]2[(a21)y2+1x2]2[16r2y4(a21)+1u2]2[((a+u2(u2a))21)(n+4dy)2+1(x+cu)2]2[n+l+vy]2[(a21)l2+1m2]2[ai+k+1li]2[p+l(an1)+b(2an+2an22n2)m]2[q+y(ap1)+s(2ap+2ap22p2)x]2[z+pl(ap)+t(2app21)pm]2) содержащий 26 переменных и имеющий степень 25. Наименьшая степень для известных многочленов такого типа — 5 при 42 переменных; наименьшее число переменных — 10 при степени около 1,6·1045. Этот результат является частным случаем доказанной Юрием Матиясевичем диофантовости любого перечислимого множества.

Открытые вопросы


 До сих пор существует много открытых вопросов относительно простых чисел, наиболее известные из которых были перечислены Эдмундом Ландау на Пятом Международном математическом конгрессе:

  1. Проблема Гольдбаха (первая проблема Ландау): верно ли, что каждое чётное число, большее двух, может быть представлено в виде суммы двух простых чисел?
  2. Вторая проблема Ландау: бесконечно ли множество «простых близнецов» — пар простых чисел, разность между которыми равна 2? (в 2013 году математик Чжан Итан из университета Нью-Гэмпшира доказал, что существует бесконечно большое количество пар простых чисел, расстояние между которыми не превышает 70 миллионов. Позже, Джеймс Мэйнард улучшил результат до 600. В 2014 году проект под руководством Теренса Тао несколько улучшили последний метод, получив оценку в 246.)
  3. Гипотеза Лежандра (третья проблема Ландау): верно ли, что для всякого натурального числа между и всегда найдётся простое число?
  4. Четвёртая проблема Ландау: бесконечно ли множество простых чисел вида + 1, где  — натуральное число?

 Открытой проблемой является также существование бесконечного количества простых чисел во многих целочисленных последовательностях, включая числа Мерсенна, числа Фибоначчи, числа Ферма и др.

Приложения


 Большие простые числа (порядка ) используются в криптографии с открытым ключом. Простые числа также используются в хеш-таблицах и для генерации псевдослучайных чисел (в частности, в ГПСЧ «Вихрь Мерсенна»).

Вариации и обобщения



  • В теории колец, разделе общей алгебры, определено понятие простого элемента и простого идеала.
  • В теории узлов определено понятие простого узла как нетривиального узла, который не может быть представлен в виде связной суммы нетривиальных узлов.