Числа Ферма

Числа Ферма — числа вида Fn=22n+1, где n — неотрицательное целое число.
 Числа Ферма для n=0,1,2,3,4 образуют последовательность:

  3, 5, 17, 257, 65537

История


 Изучение чисел такого вида начал Ферма, который выдвинул гипотезу, что все они простые. Однако эта гипотеза была опровергнута Эйлером в 1732 году, нашедшим разложение числа F5 на простые сомножители:

F5=4294967297=6416700417.
  Во времена Ферма считалось верным утверждение, что если 2n2(modn), то n — простое. Это утверждение оказалось неверным (контрпример: n=341), однако, по мнению Т. Банахевича, именно оно могло побудить Ферма выдвинуть свою гипотезу, так как утверждение 2Fn2(modFn) верно при всех n.

Свойства



  • Правильный n-угольник можно построить с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда n=2rp1p2pk (r=0,1,2,...) где p1...pk — различные простые числа Ферма (теорема Гаусса — Ванцеля).
  • Среди чисел вида 2n+1 простыми могут быть только числа Ферма (то есть n обязано быть степенью 2). Действительно, если у n есть нечётный делитель d>1 и n/d=m, то по теореме Безу:


2n+1=(2m+1)(12m+22m+2nm),
 и поэтому 2n+1 не является простым.

  • Простоту чисел Ферма можно эффективно установить с помощью теста Пепина.
  • известно лишь 5 простых чисел Ферма: 3, 5, 17, 257, 65537 . Существование других простых чисел Ферма является открытой проблемой.
  • Известно, что Fn являются составными при 5n32.
  • Десятичная запись чисел Ферма, больших 5, оканчивается на 17, 37, 57 или 97.
  • Каждый делитель числа Fn при n>2 имеет вид: k2n+2+1 (Эйлер, Люка, 1878).

Простые числа Ферма


 На 2017 год известны только 5 простых чисел Ферма, при n=0,1,2,3,4:

F0=220+1=21+1=3,
F1=221+1=22+1=5,
F2=222+1=24+1=17,
F3=223+1=28+1=257,
F4=224+1=216+1=65537.

Разложение на простые


 Всего по состоянию на март 2017 года известно 336 разложений на простые числа чисел Ферма, и 292 числа Ферма для которых доказано, что они составные, но их разложение на простые числа неизвестно. Несколько новых разложений на простые числа чисел Ферма находят каждый год.
 Ниже приведено разложение чисел Ферма на простые сомножители, при n=5,6,7,8,9:

F5=225+1=232+1=4294967297=(525+2+1)(5234725+2+1)=6416700417
F6=226+1=264+1=18446744073709551617=(107126+2+1)(26281414574526+2+1)=27417767280421310721
F7=227+1=2128+1=340282366920938463463374607431768211457==(11650310376464327+2+1)(1114197109508814268527+2+1)==596495891274972175704689200685129054721
F8=228+1=2256+1=115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639937==(385314976115728+3+1)(1057372046781162536274034354686893329625329316186240990791375328+3+1)==123892636155289793461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321
F9=229+1=2512+1=13407807929942597099574024998205846127479365820592393377723561443721764030073546976801874298166903427690031858186486050853753882811946569946433649006084097==(3729+7+1)(43226490359557706629114329022816132182488781471929+2+1)(16975143302271505426897585653131126520182328037821729720833840187223173384375771214064437726813112929+2+1)==24248337455602825647884208337395736200454918783366342657741640062627530801524787141901937474059940781097519023905821316144415759504705008092818711693940737

Обобщённые числа Ферма


 Обобщённые числа Ферма — числа вида a2n+b2n. Числа Ферма являются обобщёнными числами Ферма для a=2 и b=1.