Простые числа близнецы

Простые числа-близнецы, или парные простые числа, — пары простых чисел, отличающихся на 2.

Общая информация


 Все пары простых-близнецов, кроме (3, 5), имеют вид 6n±1, так как числа с другими вычетами по модулю 6 делятся на 2 или на 3. Если учитывать также делимость на 5, то окажется, что все пары близнецов, кроме первых двух, имеют вид 30n±1, 30n+12±1 либо 30n+18±1. Для любого целого ''m ≥ 2, пара (m'', ''m + 2) является парой простых чисел-близнецов тогда и только тогда, если 4[(m ''- 1)! + 1] + ''m '' делится на m(''m ''+ 2) (следствие теоремы Вильсона).
 Первые простые числа-близнецы:
 \texttt  (3,  5),    (5,  7),    (11, 13),   (17, 19),   (29, 31),   (41, 43),   (59, 61), \\\texttt  (71,  73),  (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193),\\\texttt  (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349),\\\texttt  (419, 421), (431, 433), (461, 463), (521, 523), (569, 571), (599, 601), (617, 619),\\\texttt  (641, 643), (659, 661), (809, 811), (821, 823), (827, 829), (857, 859), (881, 883)
 Наибольшими известными простыми-близнецами являются числа 299686303489521290000±1. Они были найдены в сентябре 2016 года в рамках проекта распределенных вычислений PrimeGrid
 Предполагается, что таких пар бесконечно много, но это не доказано. По , количество π2(x) пар простых-близнецов, не превосходящих x, асимптотически приближается к

π2(x)2C22xdt(lnt)2,
  где C2 — константа простых-близнецов:

C2=p3(11(p1)2)0.66016118158468695739278121100145

История


 Вопрос о том, бесконечно ли множество простых чисел-близнецов, был одним из величайших открытых вопросов в теории чисел в течение многих лет. Гипотеза о бесконечном числе простых чисел близнецов утверждает: «Существует бесконечно много таких простых p, что и p+2 — тоже простое». В 1849 году де Полиньяк выдвинул более общую гипотезу: «Для любого натурального k существует бесконечное число таких пар чисел p и p, что pp=2k».
 17 апреля 2013 года, Итан Чжан анонсировал доказательство того, что существует бесконечно много пар простых чисел, которые отличаются не более чем на 70 миллионов. Работа была принята в Анналы математики в мае 2013 года. 30 мая 2013 года австралийский математик Скотт Морисон опубликовал запись в блоге SBSEMINAR, объединяющем нескольких недавних аспирантов-математиков Беркли Морисон с помощью компьютерных вычислений и снизил оценку до 59 470 640. Буквально через несколько дней австралийский математик, лауреат Филдсовской медали Теренс Тао доказал, что граница может быть уменьшена на порядок — до 4 982 086. Впоследствии он предложил проекту Polymath совместными усилиями оптимизировать границу.
 В ноябре 2013 года 27-летний британский математик Джэймс Мэйнард применил алгоритм, разработанный в 2005 году математиками Дэниелем Голдстоном, Яношом Пинтцем и Семом Йилдиримом, под названием GPY (аббревиатура по первым буквам фамилий), и доказал, что существует бесконечно много соседних простых чисел, лежащих на расстоянии не более 600 друг от друга. В день выхода препринта работы Джеймса Мэйнарда Теренс Тао опубликовал в личном блоге пост с предложением запустить новый проект, polymath8b, и уже через неделю оценка была снижена до 576, а 6 января 2014 — до 270. Наилучший научно доказанный результат был достигнут в апреле 2014 года Пэйсом Нильсеном из университета Брайгама Янга в Юте — 246.
 В предположении справедливости гипотезы Эллиота — Халберстама и её обобщения оценка может быть снижена до 12 и 6 соответственно.

Теорема Бруна


 Ещё Эйлер выяснил (1740), что «ряд обратных простым» расходится:

12+13+15+17+111+=
  Норвежский математик Вигго Брун доказал (1919), что π2(x)x(lnx)2, и ряд обратных величин для пар близнецов сходится:

  B\_2=\{left(\{frac\{1\}\{3\}+\{frac\{1\}\{5\}\{right)+\{left(\{frac\{1\}\{5\}+\{frac\{1\}\{7\}\{right)
  +\{left(\{frac\{1\}\{11\}+\{frac\{1\}\{13\}\{right)+\{left(\{frac\{1\}\{17\}+\{frac\{1\}\{19\}\{right)+\{ldots\{approx 1.902160583104 Это означает, что если простых близнецов и бесконечно много, то они все же расположены в натуральном ряду довольно редко. Впоследствии была доказана сходимость аналогичного ряда для обобщённых простых близнецов.
 Значение B21.902160583104 называется константой Бруна для простых-близнецов.

Списки


 Самые большие известные простые близнецы

  • 299686303489521290000±1 (388342 цифр)
  • 37568016956852666669±1 (200700 цифр)
  • 655164683552333333±1 (100355 цифр)
  • 709656942932200006±1 (60219 цифр)
  • 664448662352200003±1 (60218 цифр)
  • 48849406232198800±1 (59855 цифр)
  • 20036636132195000±1 (58711 цифр)
  • 385291547852173250±1 (52165 цифр)
  • 1947721060743152171960±1 (51780 цифр)
  • 1003145125440152171960±1 (51780 цифр)

Простые числа-триплеты


 Это тройка различных простых чисел, разность между наибольшим и наименьшим из которых минимальна. Наименьшими простыми числами, отвечающими заданному условию, являются — (2, 3, 5) и (3, 5, 7). Данная пара триплетов исключительна, так как во всех остальных случаях разность между первым и третьим членом равна шести. Обобщённо: последовательность простых чисел (p, p+2, p+6) или (p, p+4, p+6) называется триплетом.
 Первые простые числа-триплеты:
 (5, 7, 11), (7, 11, 13), (11, 13, 17), (13, 17, 19), (17, 19, 23), (37, 41, 43), (41, 43, 47), (67, 71, 73), (97, 101, 103), (101, 103, 107), (103, 107, 109), (107, 109, 113), (191, 193, 197), (193, 197, 199), (223, 227, 229), (227, 229, 233), (277, 281, 283), (307, 311, 313), (311, 313, 317), (347, 349, 353), (457, 461, 463), (461, 463, 467), (613, 617, 619), (641, 643, 647), (821, 823, 827), (823, 827, 829), (853, 857, 859), (857, 859, 863), (877, 881, 883), (881, 883, 887)
 На данный момент, наибольшими известными простыми-триплетами являются числа:
 (p, p+4, p+6), где p = 6521953289619 × 255555 − 5 (16737 цифр, апрель, 2013, Peter Kaiser, Srsieve, LLR, OpenPFGW)

Квадруплеты простых чисел


 Четвёрки простых чисел вида (p, p+2, p+6, p+8) или сдвоенные близнецы или квадруплеты:
 (5, 7, 11, 13), (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109), (191, 193, 197, 199), (821, 823, 827, 829), (1481, 1483, 1487, 1489), (1871, 1873, 1877, 1879), (2081, 2083, 2087, 2089), (3251, 3253, 3257, 3259), (3461, 3463, 3467, 3469), (5651, 5653, 5657, 5659), (9431, 9433, 9437, 9439), (13001, 13003, 13007, 13009), (15641, 15643, 15647, 15649), (15731, 15733, 15737, 15739), (16061, 16063, 16067, 16069), (18041, 18043, 18047, 18049), (18911, 18913, 18917, 18919), (19421, 19423, 19427, 19429), (21011, 21013, 21017, 21019), (22271, 22273, 22277, 22279), (25301, 25303, 25307, 25309), \ldots
 По модулю все квадруплеты, кроме первого, имеют вид (11, 13, 17, 19).
 По модулю 210 все квадруплеты, кроме первого, имеют вид либо (11, 13, 17, 19), либо (101, 103, 107, 109), либо (191, 193, 197, 199).

Секступлеты простых чисел


 Шестёрки простых чисел вида (p, p+4, p+6, p+10, p+12, p+16):
 (7, 11, 13, 17, 19, 23), (97, 101, 103, 107, 109, 113), (16057, 16061, 16063, 16067, 16069, 16073), (19417, 19421, 19423, 19427, 19429, 19433), (43777, 43781, 43783, 43787, 43789, 43793) \ldots
 По модулю 210 все секступлеты, кроме первого, имеют вид (97, 101, 103, 107, 109, 113).