Простые числа близнецы

Простые числа-близнецы, или парные простые числа, —пары простых чисел, отличающихся на 2.

Общаяинформация


 Все пары простых-близнецов, кроме (3, 5), имеют вид 6n±1, так какчисла с другими вычетами по модулю 6 делятся на 2 или на 3. Еслиучитывать также делимость на 5, то окажется, что все пары близнецов,кроме первых двух, имеют вид 30n±1, 30n+12±1 либо 30n+18±1.Для любого целого ''m ≥ 2, пара (m'', ''m + 2) являетсяпарой простых чисел-близнецов тогда и только тогда, если 4[(m ''- 1)!+ 1] + ''m '' делится на m(''m ''+ 2) (следствие теоремыВильсона).
 Первые простые числа-близнецы:
 \texttt  (3,  5),    (5,  7),    (11, 13),   (17, 19),   (29, 31),   (41, 43),   (59, 61), \\\texttt  (71,  73),  (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193),\\\texttt  (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349),\\\texttt  (419, 421), (431, 433), (461, 463), (521, 523), (569, 571), (599, 601), (617, 619),\\\texttt  (641, 643), (659, 661), (809, 811), (821, 823), (827, 829), (857, 859), (881, 883)
 Наибольшими известными простыми-близнецами являются числа299686303489521290000±1. Они были найдены в сентябре 2016года в рамках проекта распределенных вычислений PrimeGrid
 Предполагается, что таких пар бесконечно много, но это не доказано. По ,количество π2(x) пар простых-близнецов, не превосходящих x,асимптотически приближается к

π2(x)2C22xdt(lnt)2,
 где C2 — константа простых-близнецов:

C2=p3(11(p1)2)0.66016118158468695739278121100145

История


 Вопрос о том, бесконечно ли множество простых чисел-близнецов, был однимиз величайших открытых вопросов в теории чисел в течение многих лет.Гипотеза о бесконечном числе простых чисел близнецов утверждает:«Существует бесконечно много таких простых p, что и p+2 — тожепростое». В 1849 году де Полиньяк выдвинул более общую гипотезу: «Длялюбого натурального k существует бесконечное число таких пар чисел pи p, что pp=2k».
 17 апреля 2013 года, Итан Чжан анонсировал доказательство того, чтосуществует бесконечно много пар простых чисел, которые отличаются неболее чем на 70 миллионов. Работа была принята в Анналы математики в мае2013 года. 30 мая 2013 года австралийский математик Скотт Морисонопубликовал запись в блоге SBSEMINAR, объединяющем нескольких недавнихаспирантов-математиков Беркли Морисон с помощью компьютерных вычисленийи снизил оценку до 59 470 640. Буквально через несколько днейавстралийский математик, лауреат Филдсовской медали Теренс Тао доказал,что граница может быть уменьшена на порядок — до 4 982 086.Впоследствии он предложил проекту Polymath совместными усилиямиоптимизировать границу.
 В ноябре 2013 года 27-летний британский математик Джэймс Мэйнардприменил алгоритм, разработанный в 2005 году математиками ДэниелемГолдстоном, Яношом Пинтцем и Семом Йилдиримом, под названием GPY(аббревиатура по первым буквам фамилий), и доказал, что существуетбесконечно много соседних простых чисел, лежащих на расстоянии не более600 друг от друга. В день выхода препринта работы Джеймса МэйнардаТеренс Тао опубликовал в личном блоге пост с предложением запуститьновый проект, polymath8b, и уже через неделю оценка была снижена до 576,а 6 января 2014 — до 270. Наилучший научно доказанный результат былдостигнут в апреле 2014 года Пэйсом Нильсеном из университета БрайгамаЯнга в Юте — 246.
 В предположении справедливости гипотезы Эллиота — Халберстама и еёобобщения оценка может быть снижена до 12 и 6 соответственно.

ТеоремаБруна


 Ещё Эйлер выяснил (1740), что «ряд обратных простым» расходится:

12+13+15+17+111+=
 Норвежский математик Вигго Брун доказал (1919), чтоπ2(x)x(lnx)2, и ряд обратных величин для парблизнецов сходится:

 B\_2=\{left(\{frac\{1\}\{3\}+\{frac\{1\}\{5\}\{right)+\{left(\{frac\{1\}\{5\}+\{frac\{1\}\{7\}\{right)
 +\{left(\{frac\{1\}\{11\}+\{frac\{1\}\{13\}\{right)+\{left(\{frac\{1\}\{17\}+\{frac\{1\}\{19\}\{right)+\{ldots\{approx1.902160583104 Это означает, что если простых близнецов и бесконечномного, то они все же расположены в натуральном ряду довольно редко.Впоследствии была доказана сходимость аналогичного ряда для обобщённыхпростых близнецов.
 Значение B21.902160583104 называется константойБруна для простых-близнецов.

Списки


 Самые большие известные простые близнецы

  • 299686303489521290000±1 (388342 цифр)
  • 37568016956852666669±1 (200700 цифр)
  • 655164683552333333±1 (100355 цифр)
  • 709656942932200006±1 (60219 цифр)
  • 664448662352200003±1 (60218 цифр)
  • 48849406232198800±1 (59855 цифр)
  • 20036636132195000±1 (58711 цифр)
  • 385291547852173250±1 (52165 цифр)
  • 1947721060743152171960±1 (51780 цифр)
  • 1003145125440152171960±1 (51780 цифр)

Простыечисла-триплеты


 Это тройка различных простых чисел, разность между наибольшим инаименьшим из которых минимальна. Наименьшими простыми числами,отвечающими заданному условию, являются — (2, 3, 5) и (3, 5, 7).Данная пара триплетов исключительна, так как во всех остальных случаяхразность между первым и третьим членом равна шести. Обобщённо:последовательность простых чисел (p, p+2, p+6) или (p, p+4, p+6)называется триплетом.
 Первые простые числа-триплеты:
 (5, 7, 11), (7, 11, 13), (11, 13, 17), (13, 17, 19), (17, 19, 23), (37,41, 43), (41, 43, 47), (67, 71, 73), (97, 101, 103), (101, 103, 107),(103, 107, 109), (107, 109, 113), (191, 193, 197), (193, 197, 199),(223, 227, 229), (227, 229, 233), (277, 281, 283), (307, 311, 313),(311, 313, 317), (347, 349, 353), (457, 461, 463), (461, 463, 467),(613, 617, 619), (641, 643, 647), (821, 823, 827), (823, 827, 829),(853, 857, 859), (857, 859, 863), (877, 881, 883), (881, 883, 887)
 На данный момент, наибольшими известными простыми-триплетами являютсячисла:
 (p, p+4, p+6), где p = 6521953289619 ×255555 − 5 (16737 цифр, апрель, 2013, Peter Kaiser,Srsieve, LLR, OpenPFGW)

Квадруплеты простыхчисел


 Четвёрки простых чисел вида (p, p+2, p+6, p+8) или сдвоенные близнецыили квадруплеты:
 (5, 7, 11, 13), (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109), (191, 193, 197,199), (821, 823, 827, 829), (1481, 1483, 1487, 1489), (1871, 1873, 1877,1879), (2081, 2083, 2087, 2089), (3251, 3253, 3257, 3259), (3461, 3463,3467, 3469), (5651, 5653, 5657, 5659), (9431, 9433, 9437, 9439), (13001,13003, 13007, 13009), (15641, 15643, 15647, 15649), (15731, 15733,15737, 15739), (16061, 16063, 16067, 16069), (18041, 18043, 18047,18049), (18911, 18913, 18917, 18919), (19421, 19423, 19427, 19429),(21011, 21013, 21017, 21019), (22271, 22273, 22277, 22279), (25301,25303, 25307, 25309), \ldots
 По модулю все квадруплеты, кроме первого, имеют вид (11, 13, 17, 19).
 По модулю 210 все квадруплеты, кроме первого, имеют вид либо (11, 13,17, 19), либо (101, 103, 107, 109), либо (191, 193, 197, 199).

Секступлеты простыхчисел


 Шестёрки простых чисел вида (p, p+4, p+6, p+10, p+12, p+16):
 (7, 11, 13, 17, 19, 23), (97, 101, 103, 107, 109, 113), (16057, 16061,16063, 16067, 16069, 16073), (19417, 19421, 19423, 19427, 19429, 19433),(43777, 43781, 43783, 43787, 43789, 43793) \ldots
 По модулю 210 все секступлеты, кроме первого, имеют вид (97, 101, 103,107, 109, 113).