В теории чисел праймориальным простым числом называется простое
число вида pn\# ± 1, где
pn\# - праймориал pn (то
есть произведение первых n простых чисел). Числа вида
pn\# + 1 (не обязательно простые) называются
числами Евклида.
Отсюда следует
pn\# − 1 является простым для n = 2, 3, 5,
6, 13, 24, ...
pn\# + 1 является простым для n = 1, 2, 3,
4, 5, 11, ...
Несколько первых праймориальных простых
3, 5, 7, 29, 31, 211, 2309, 2311, , ,
Несколько первых чисел Евклида
3, 7, 31, 211, 2311, , .
К марту 2012 года максимальным известным праймориальным простым числом
было 1098133\# − 1 (n = 85586) с 476,311 знаками. Число было
найдено в проекте распределенных вычислений PrimeGrid.
Широко распространено мнение, что идея праймориальных простых
принадлежит Евклиду и появилась в его доказательстве бесконечности числа
простых чисел: Предположим, что существует только n простых
чисел, тогда число pn\# + 1 взаимно просто с
ними, а значит либо оно является простым, либо существует ещё одно
простое число. Открытой проблемой остаётся, конечно или бесконечно
количество праймориальных простых чисел (и, в частности, простых чисел
Евклида).
Число Евклида E6 = 13\# + 1 = 30031 = 59 x
509 составное, что демонстрирует, что не все числа Евклида – простые.
Числа Евклида не могут быть квадратными, поскольку они всегда сравнимы с
3 mod 4.
Для всех n ≥ 3 последний знак En
равен 1, поскольку En − 1 делится на 2 и
5.