Праймориальное простое

 В теории чисел праймориальным простым числом называется простое число вида pn\# ± 1, где pn\# - праймориал pn (то есть произведение первых n простых чисел). Числа вида pn\# + 1 (не обязательно простые) называются числами Евклида.
 Отсюда следует

pn\# − 1 является простым для n = 2, 3, 5, 6, 13, 24, ...
pn\# + 1 является простым для n = 1, 2, 3, 4, 5, 11, ...
  Несколько первых праймориальных простых

  3, 5, 7, 29, 31, 211, 2309, 2311, , ,
  Несколько первых чисел Евклида

  3, 7, 31, 211, 2311, , .
  К марту 2012 года максимальным известным праймориальным простым числом было 1098133\# − 1 (n = 85586) с 476,311 знаками. Число было найдено в проекте распределенных вычислений PrimeGrid.
 Широко распространено мнение, что идея праймориальных простых принадлежит Евклиду и появилась в его доказательстве бесконечности числа простых чисел: Предположим, что существует только n простых чисел, тогда число pn\# + 1 взаимно просто с ними, а значит либо оно является простым, либо существует ещё одно простое число. Открытой проблемой остаётся, конечно или бесконечно количество праймориальных простых чисел (и, в частности, простых чисел Евклида).
 Число Евклида E6 = 13\# + 1 = 30031 = 59 x 509 составное, что демонстрирует, что не все числа Евклида – простые.
 Числа Евклида не могут быть квадратными, поскольку они всегда сравнимы с 3 mod 4.
 Для всех n ≥ 3 последний знак En равен 1, поскольку En − 1 делится на 2 и 5.