Простые числа Эйзенштейна

 В математике простым числом Эйзенштейна называется целое число Эйзенштейна
z=a+bω(ω=e2πi/3)
,
 являющееся неприводимым (эквивалентно, простым) элементом Z[ω] в смысле теории колец. Делителями простых чисел Эйзенштейна являются только обратимые элементы (±1, ±ω, ±ω2), a + bω и их произведения.
 Умножение на обратимый элемент и сопряжение любого простого числа Эйзенштейна также является простым числом Эйзенштейна.
 Целое число Эйзенштейна z = a + bω является простым числом Эйзенштейна тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих взаимоисключающих условий:

  1. z является произведением обратимого элемента на натуральное простое вида 3n − 1,
  2. z2 = a2ab + b2 является натуральным простым (сравнимым с 0 или 1  по модулю  3).

 Отсюда следует, что абсолютное значение квадрата любого целого числа Эйзенштейна является либо простым числом, либо квадратом простого числа.
 Несколько первых простых чисел Эйзенштейна, равных натуральным простым 3n − 1:

  2, 5, 11, 17, 23, 29, 41, 47, 53, 59, 71, 83, 89, 101 .
  Все натуральные простые, сравнимые с 0 или 1 по модулю  3, не являются простыми Эйзенштейна: они разложимы на нетривиальные множители в Z[ω]. Примеры:

  3 = −(1 + 2ω)2
 7 = (3 + ω)(2 − ω).
  Несколько простых чисел Эйзенштейна, не являющихся натуральными:

  2 + ω, 3 + ω, 4 + ω, 5 + 2ω, 6 + ω, 7 + ω, 7 + 3ω.
  С точностью до сопряжения и умножения на единицы, приведенные выше числа, вместе с 2 и 5, - это все простые числа Эйзенштейна, не превосходящие по абсолютному значению 7.
 По состоянию на май 2017 года наибольшим известным действительным простым числом Эйзенштейна является 10223 × 231172165 + 1, открытое проектом PrimeGrid.
 Все большие известные простые являются простыми числами Мерсенна и были найдены с помощью GIMPS. Действительные простые Эйзенштейна сравнимы с 2 по модулю 3, а простые числа Мерсенна (за исключением наименьшего и них, 3) сравнимы с 1 по модулю 3. Таким образом, никакое простое число Мерсенна не является простым числом Эйзенштейна.