Простые числа Хиггса

Простым числом Хиггса называется простое число, такое, чтозначение функции Эйлера от этого числа (для простого она равна этомучислу минус единица) делит квадрат произведения меньших чисел Хиггса безостатка. (Можно обобщить на кубы, четвёртые степени, и т. д.) Валгебраической записи — для заданного показателя a простоечисло Хиггса Hpn удовлетворяет условию

ϕ(Hpn)|i=1n1Hpia and Hpn>Hpn1
 где Φ(x) — функция Эйлера.
 Несколько первых простых Хиггса для показателя 2
 \texttt2, 3, 5, 7, 11, 13, 19, 23, 29, 31, 37, 43, 47, ... \texttt. 
 Число 13, например, является простым Хиггса, поскольку квадратпроизведения меньших чисел Хиггса равен 5336100, и при делении на 12получим 444675. Однако число 17 не является простым Хиггса, посколькуквадрат произведения меньших чисел Хиггса равен 901800900, и при деленииего на 16 получим остаток 4.
 Ниже приведён список наименьших простых чисел, не являющихся простымиХиггса для степеней от 2 до 7
Показатель75-ое простое ХиггсаЧисла, меньшие 75-го числа и неявляющиеся простыми Хиггса
282717, 41, 73, 83, 89, 97, 103, 109, 113, 137, 163, 167, 179,193, 227, 233, 239, 241, 251, 257, 271, 281, 293, 307, 313, 337, 353,359, 379, 389, 401, 409, 433, 439, 443, 449, 457, 467, 479, 487, 499,503, 521, 541, 563, 569, 577, 587, 593, 601, 613, 617, 619, 641, 647,653, 673, 719, 739, 751, 757, 761, 769, 773, 809, 811, 821, 823
352117, 97, 103, 113, 137, 163, 193, 227, 239, 241, 257, 307, 337,353, 389, 401, 409, 433, 443, 449, 479, 487
441997, 193, 257, 353, 389
5397193, 257
6389257
7389257

 Дальнейшие исследования показывают, что числа Ферма 22n+1 немогут быть простыми Хиггса для показателя a, если a меньше2n.
 Неизвестно, имеется ли бесконечно много простых чисел Хиггса дляпроизвольного показателя a, большего 1. Для a = 1 ситуациясовершенно другая — имеется только четыре таких числа: 2, 3, 7 и 43(последовательность подозрительно похожа на последовательностьСильвестра). Баррис (Burris) и Ли (Lee) в 1993 годуобнаружили, что около половины простых чисел меньших миллиона являютсяпростыми Хиггса, откуда они сделали вывод, что даже если число простыхХиггса для показателя 2 и конечно, «перебрать их все с помощьюкомпьютера нереально.»