Простое число Вольстенхольма

 В теории чисел '''простым числом Вольстенхольма ''' называется всякое простое число, удовлетворяющее усиленному сравнению из теоремы Вольстенхольма. При этом исходному сравнению из теоремы Вольстенхольма удовлетворяют все простые числа, кроме 2 и 3. Простые Вольстенхольма названы в честь математика Джозефа Вольстенхольма, который первым доказал теорему в XIX веке.
 Интерес к этим простым возник по причине их связи с великой теоремой Ферма.
 Известны только два простых числа Вольстенхольма — это 16843 и 2124679 . Других простых чисел Вольстенхольма, меньших 109, нет.

Определения


 Простое число Вольстенхольма может быть определено несколькими эквивалентными путями.

Через биномиальные коэффициенты


 Простое число Вольстенхольма — это простое число, удовлетворяющее сравнению

(2pp)2(modp4),
  где выражение в левой части обозначает биномиальный коэффициент. Сравните с теоремой Вольстенхольма, которая утверждает, что для любого простого p \textgreater 3 выполняется следующее сравнение:

(2pp)2(modp3).

Через числа Бернулли


 Простое число Вольстенхольма — это простое число p, делящее (без остатка) числитель числа Бернулли Bp−3. Таким образом, простые числа Вольстенхольма представляют собой подмножество иррегулярных простых чисел.

Через иррегулярные пары


 Простое число Вольстенхольма p — это простое число, такое, что (p, p-3) является иррегулярной парой.

Через гармонические числа


 Простое число Вольстенхольма p — это простое число, такое, что

Hp10(modp3),
  то есть числитель гармонического числа Hp1 делится на p3.

Поиск и текущее состояние


 Поиск простых чисел Вольстенхольма начался в 1960-х годах и продолжается до сих пор. Последний результат был опубликован в 2007 году. Первое простое число Вольстенхольма 16843 было найдено в 1964 году, хотя результат и не был опубликован в явном виде. Находка 1964 года была потом независимо подтверждена в . Это число оставалось единственным известным примером таких чисел почти 20 лет, пока не было объявлено об обнаружении второго простого числа Вольстенхольма 2124679 в 1993 году. В то время вплоть до 1,2 не было найдено ни одного числа Вольстенхольма, кроме упомянутых двух. Позднее граница была поднята до 2 Макинтошем (McIntosh) в 1995 году, а Тревисан (Trevisan) и Вебер (Weber) смогли достичь 2,5. Последний результат зафиксирован в 2007 году — до 1 так и не нашли простых чисел Вольстенхольма.

Ожидаемое количество


 Существует гипотеза, что простых чисел Вольстенхольма бесконечно много. Предполагается также, что количество не превосходящих x простых чисел Вольстенхольма должно быть порядка ln ln x, где ln обозначает натуральный логарифм. Для любого простого числа p ≥ 5 частным Вольстенхольма называется

Wp=(2pp)2p3.
  Ясно, что p является простым числом Вольстенхольма тогда и только тогда, когда Wp ≡ 0 (mod p). Из эмпирических наблюдений можно предположить, что остаток Wp по модулю p равномерно распределён на множестве \{0, 1, \ldots, p-1\}. По этим причинам вероятность получения определённого остатка (например, 0) должна быть около 1/p.