Простое число Вольстенхольма

 В теории чисел '''простым числом Вольстенхольма ''' называется всякоепростое число, удовлетворяющее усиленному сравнению из теоремыВольстенхольма. При этом исходному сравнению из теоремы Вольстенхольмаудовлетворяют все простые числа, кроме 2 и 3. Простые Вольстенхольманазваны в честь математика Джозефа Вольстенхольма, который первымдоказал теорему в XIX веке.
 Интерес к этим простым возник по причине их связи с великой теоремойФерма.
 Известны только два простых числа Вольстенхольма — это 16843 и 2124679. Других простых чисел Вольстенхольма, меньших 109,нет.

Определения


 Простое число Вольстенхольма может быть определено несколькимиэквивалентными путями.

Через биномиальныекоэффициенты


 Простое число Вольстенхольма — это простое число, удовлетворяющеесравнению

(2pp)2(modp4),
 где выражение в левой части обозначает биномиальный коэффициент.Сравните с теоремой Вольстенхольма, которая утверждает, что для любогопростого p \textgreater 3 выполняется следующее сравнение:

(2pp)2(modp3).

Через числаБернулли


 Простое число Вольстенхольма — это простое число p, делящее(без остатка) числитель числа БернуллиBp−3. Таким образом, простые числаВольстенхольма представляют собой подмножество иррегулярных простыхчисел.

Через иррегулярныепары


 Простое число Вольстенхольма p — это простое число, такое, что(p, p-3) является иррегулярной парой.

Через гармоническиечисла


 Простое число Вольстенхольма p — это простое число, такое, что

Hp10(modp3),
 то есть числитель гармонического числа Hp1 делится наp3.

Поиск и текущеесостояние


 Поиск простых чисел Вольстенхольма начался в 1960-х годах и продолжаетсядо сих пор. Последний результат был опубликован в 2007 году. Первоепростое число Вольстенхольма 16843 было найдено в 1964 году, хотярезультат и не был опубликован в явном виде. Находка 1964 года былапотом независимо подтверждена в . Это число оставалось единственнымизвестным примером таких чисел почти 20 лет, пока не было объявлено обобнаружении второго простого числа Вольстенхольма 2124679 в 1993 году. Вто время вплоть до 1,2 не было найдено ни одного числа Вольстенхольма,кроме упомянутых двух. Позднее граница была поднята до 2 Макинтошем(McIntosh) в 1995 году, а Тревисан (Trevisan) и Вебер (Weber) смоглидостичь 2,5. Последний результат зафиксирован в 2007 году — до 1 так ине нашли простых чисел Вольстенхольма.

Ожидаемоеколичество


 Существует гипотеза, что простых чисел Вольстенхольма бесконечно много.Предполагается также, что количество не превосходящих x простыхчисел Вольстенхольма должно быть порядка ln ln x, где lnобозначает натуральный логарифм. Для любого простого числа p ≥ 5частным Вольстенхольма называется

Wp=(2pp)2p3.
 Ясно, что p является простым числом Вольстенхольма тогда и толькотогда, когда Wp ≡ 0 (mod p). Изэмпирических наблюдений можно предположить, что остатокWp по модулю p равномернораспределён на множестве \{0, 1, \ldots, p-1\}. По этимпричинам вероятность получения определённого остатка (например, 0)должна быть около 1/p.