Регулярное простое число

 В теории чисел регулярное простое число — всякое простое число р, для которого число классов идеалов кругового поля не делится на р. Все остальные простые нечётные числа называются иррегулярными.
 Несколько первых регулярных простых чисел:

  3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, \ldots

Свойства


 Регулярные числа — это в точности куммеровы простые числа, однако доказывается это довольно сложно. Для проверки числа на куммеровость может быть использован так называемый критерий Куммера: p куммерово тогда и только тогда, когда числители всех чисел Бернулли B2,B4,,Bp3 не делятся на p.
 Предполагается, что регулярных простых чисел бесконечно много, однако это утверждение не доказано.
 Регулярные числа ввел Куммер при попытке доказательства теоремы Ферма. Одна из полученных теорем, с учётом совпадения регулярности и куммеровости, утверждает следующее:

  Если простое p регулярно, то для него уравнение xp+yp=zp не имеет решений в натуральных числах.

Иррегулярное простое число


 Простое число, не являющееся регулярным, называется иррегулярным простым числом. Несколько первых иррегулярных простых чисел:

 , \ldots
  Иенсен доказал, что существует бесконечно много иррегулярных простых чисел.

Иррегулярные пары


 Если p — иррегулярное простое число, то p делит без остатка числитель числа Бернулли B2k для некоторого чётного индекса 2k в интервале 0 \textless 2k \textless p −1. При этом пара чисел (p, 2k) называется иррегулярной парой. Первые несколько иррегулярных пар:

  (691, 12), (3617, 16), (43867, 18), (283, 20), (617, 20), (131, 22), (593, 22), (103, 24), \ldots
  Для заданного простого p число таких пар называется индексом нерегулярности числа p. Таким образом, простое число регулярно тогда и только тогда, когда индекс иррегулярности равен нулю. Аналогично, простое число иррегулярно тогда и только тогда, когда его индекс иррегулярности положителен.
 Обнаружено, что при p \textless 30000 пара (p, p−3) является иррегулярной лишь для простого числа Вольстенхольма p = 16843.