Processing math: 100%

Регулярное простое число

 В теории чисел регулярное простое число — всякое простоечисло р, для которого число классов идеалов кругового поля неделится на р. Все остальные простые нечётные числа называютсяиррегулярными.
 Несколько первых регулярных простых чисел:

 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, \ldots

Свойства


 Регулярные числа — это в точности куммеровы простые числа, однакодоказывается это довольно сложно. Для проверки числа на куммеровостьможет быть использован так называемый критерий Куммера: pкуммерово тогда и только тогда, когда числители всех чисел БернуллиB2,B4,,Bp3 не делятся на p.
 Предполагается, что регулярных простых чисел бесконечно много, однакоэто утверждение не доказано.
 Регулярные числа ввел Куммер при попытке доказательства теоремы Ферма.Одна из полученных теорем, с учётом совпадения регулярности икуммеровости, утверждает следующее:

 Если простое p регулярно, то для него уравнение xp+yp=zp неимеет решений в натуральных числах.

Иррегулярное простоечисло


 Простое число, не являющееся регулярным, называется иррегулярнымпростым числом. Несколько первых иррегулярных простых чисел:

 , \ldots
 Иенсен доказал, что существует бесконечно много иррегулярных простыхчисел.

Иррегулярныепары


 Если p — иррегулярное простое число, то p делит безостатка числитель числа Бернулли B2k длянекоторого чётного индекса 2k в интервале 0 \textless 2k\textless p −1. При этом пара чисел (p, 2k) называетсяиррегулярной парой. Первые несколько иррегулярных пар:

 (691, 12), (3617, 16), (43867, 18), (283, 20), (617, 20), (131, 22),(593, 22), (103, 24), \ldots
 Для заданного простого p число таких пар называетсяиндексом нерегулярности числа p. Таким образом, простоечисло регулярно тогда и только тогда, когда индекс иррегулярности равеннулю. Аналогично, простое число иррегулярно тогда и только тогда, когдаего индекс иррегулярности положителен.
 Обнаружено, что при p \textless 30000 пара (p, p−3)является иррегулярной лишь для простого числа Вольстенхольма p =16843.