Уникальное простое

 В теории чисел Уникальное простое число – это определенный вид простых чисел. Простое число p ≠ 2, 5 называется уникальным, если не существует другого простого q, такого что длина периода разложения в десятичную дробь обратной величины, 1 / p, равна длине периода 1 / q. Уникальные простые впервые были описаны Самюэлем Йетсом (Samuel Yates) в 1980.
 Можно показать, что простое p является уникальным с периодом n тогда и только тогда, когда существует натуральное число c, такое что
Φn(10)gcd(Φn(10),n)=pc
,
 где Φn(x) – это n-ый круговой многочлен. В настоящее время известно более пятидесяти уникальных простых или возможно простых. Однако известно только двадцать три уникальных простых, меньших 10100. Таблица ниже показывает 23 уникальных простых, меньших 10100 и их периоды :
Длина периодаПростое
13
211
337
4101
109,091
129,901
9333,667
14909,091
2499,990,001
36999,999,000,001
489,999,999,900,000,001
38909,090,909,090,909,091
191,111,111,111,111,111,111
2311,111,111,111,111,111,111,111
39900,900,900,900,990,990,990,991
62909,090,909,090,909,090,909,090,909,091
120100,009,999,999,899,989,999,000,000,010,001
15010,000,099,999,999,989,999,899,999,000,000,000,100,001
1069,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,091
93900,900,900,900,900,900,900,900,900,900,990,990,990,990,990,990,990,990,990,991
134909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,091
294142,857,157,142,857,142,856,999,999,985,714,285,714,285,857,142,857,142,855,714,285,571,428,571,428,572,857,143
196999,999,999,999,990,000,000,000,000,099,999,999,999,999,000,000,000,000,009,999,999,999,999,900,000,000,000,001

 Простое число с периодом 294 похоже на число, обратное 7 (0.142857142857142857...)
 Не приведенное в таблице двадцать четвертое уникальное простое число содержит 128 знаков и период длиной 320. Оно может быт записано как (932032)2 + 1, где индекс n означает n последовательных копий цифры или группы цифр, находящихся перед индексом.
 Хотя уникальные простые числа редки, существует основывающаяся на изучении простых, состоящих из одной цифры, и возможно простых гипотеза о бесконечном числе уникальных простых (любой простой репьюнит уникален).
 На 2010 год репьюнит (10270343-1)/9 – наибольшее из известных возможно уникальных простых чисел.
 В 1996 году наибольшим проверенным уникальным простым было (101132 + 1)/10001, или, используя использованную выше запись, (99990000)141+ 1. Его период равен 2264. Рекорд был с тех пор несколько раз улучшен. К 2010 году наибольшее проверенное уникальное простое число имело 10,081 знаков.