Степень простого числа

 В математике степень простого числа — это простое числовозведенное в целую положительную степень.

Примеры


 Числа 5 = , 9 = и 16 = являются степенями простых чисел, в то время как6 = , 15 =  и 36 =  =  не являются.
 Двадцать наименьших степеней простых чисел:

 , \ldots

Свойства


Алгебраическиесвойства



  • Каждая степень простого числа делится только на одно простое число.
  • Конечное поле порядка n существует тогда и только тогда, когда n — степень простого числа.
  • Плотность распределения степеней простых чисел асимптотически эквивалентна π(x) — плотности простых чисел с точностью до O(x).
  • Любая степень простого числа (за исключением степени 2) имеет первообразный корень. Так, мультипликативная группа целых чисел по модулю pn (или, что эквивалентно, группа единиц кольца Z/pnZ) является циклической.
  • Число элементов конечного поля всегда является степенью простого числа и обратно, любая степень простого является числом элементов некоторого конечного поля (единственного с точностью до изоморфизма).

Комбинаторныесвойства


 Свойство степеней простого числа, часто используемое в аналитическойтеории чисел, — что множество степеней простых чисел, не являющихсяпростыми, является в том смысле, что бесконечная сумма обратных имвеличин сходится, хотя множество простых чисел является большиммножеством.

Свойстваделимости


 Функция Эйлера (φ) и сигма функции (σ0) и(σ1) от степени простого числа можно вычислить поформулам:
ϕ(pn)=pn1ϕ(p)=pn1(p1)=pnpn1=pn(11p),

σ0(pn)=j=0np0j=j=0n1=n+1,

σ1(pn)=j=0np1j=j=0npj=pn+11p1.

 Все степени простых чисел являются недостаточными числами. Степеньпростого pn является n-. Неизвестно,могут ли степени простых чисел pn бытьдружественными числами. Если такие числа существуют, тоpn должно быть больше 101500и n должен быть больше 1400.