Гипотеза Брокара

Гипотеза Брокара — известны две гипотезы теории чисел,сформулированные Брокаром.

Гипотеза Брокара о квадратах простыхчисел


 Формулировка:
 Между квадратами подряд идущих простых чисел, за исключением первыхдвух, всегда найдётся хотя бы 4 простых числа. Иначе говоря, все числапоследовательности π(pn+12)π(pn2), кроме первого, неменьше 4, где π(x) — количество простых чисел, меньших x.
npnpn2Простые числаΔ
1245, 72
23911, 13, 17, 19, 235
352529, 31, 37, 41, 43, 476
474953, 59, 61, 67, 71\ldots15
511121127, 131, 137, 139, 149\ldots9
colspan=5 Δ обозначает π(pn+12)π(pn2).

 На начало 2011 года не доказана и является одной из открытыхматематических проблем. Верна для первых 10 тыс. простых чисел, см.сдвинутую на один вправо последовательность : 2, 2(№ 1), 5, 6, 15, 9, 22, 11, 27, 47, 16, 57, 44\ldots

ГипотезаЛежандра


 Схожая и тоже недоказанная гипотеза Лежандра, также называемаятретьей проблемой Ландау, утверждает, что Между квадратаминатуральных чисел всегда найдётся простое число, или, что равносильно,функция π(n2) строго возрастает с ростом n.

Гипотеза Брокара офакториалах


 Существуют ли другие числа n, кроме 4,5,7, такие, чтоn!+1=k2, где k - целое число? Сформулирована Брокаром в 1876 и1885 гг. В 2000 г. при помощи компьютера было показано, что дляфакториалов чисел до 1 миллиарда других таких чисел нет.