Гипотеза Брокара

Гипотеза Брокара — известны две гипотезы теории чисел, сформулированные Брокаром.

Гипотеза Брокара о квадратах простых чисел


 Формулировка:
 Между квадратами подряд идущих простых чисел, за исключением первых двух, всегда найдётся хотя бы 4 простых числа. Иначе говоря, все числа последовательности π(pn+12)π(pn2), кроме первого, не меньше 4, где π(x) — количество простых чисел, меньших x.
npnpn2Простые числаΔ
1245, 72
23911, 13, 17, 19, 235
352529, 31, 37, 41, 43, 476
474953, 59, 61, 67, 71\ldots15
511121127, 131, 137, 139, 149\ldots9
colspan=5 Δ обозначает π(pn+12)π(pn2).

 На начало 2011 года не доказана и является одной из открытых математических проблем. Верна для первых 10 тыс. простых чисел, см. сдвинутую на один вправо последовательность : 2, 2 (№ 1), 5, 6, 15, 9, 22, 11, 27, 47, 16, 57, 44\ldots

Гипотеза Лежандра


 Схожая и тоже недоказанная гипотеза Лежандра, также называемая третьей проблемой Ландау, утверждает, что Между квадратами натуральных чисел всегда найдётся простое число, или, что равносильно, функция π(n2) строго возрастает с ростом n.

Гипотеза Брокара о факториалах


 Существуют ли другие числа n, кроме 4,5,7, такие, что n!+1=k2, где k - целое число? Сформулирована Брокаром в 1876 и 1885 гг. В 2000 г. при помощи компьютера было показано, что для факториалов чисел до 1 миллиарда других таких чисел нет.