Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js

Гипотеза Буняковского

Гипотеза Буняковского гласит, что если f(x) — целозначныйнеприводимый многочлен и d — наибольший общий делитель всех егозначений в целых точках, то целозначный многочлен f(x)/d принимаетбесконечно много простых значений.
 Если f(x)=kx+b — линейная функция, то наибольший общий делитель еёзначений равен НОД(k,b). И тогда по теореме Дирихле о простыхчислах в арифметической прогрессии линейная функцияf1(x)=kx+bd принимает бесконечное множество простых значений(видно, что f1(x) целозначна). То есть гипотеза сформулированакорректно.
 4-я проблема Ландау — частный случай этой гипотезы при f(x)=x2+1.
 В статье Bateman, Horn приведена общая эвристическая формула, из которойследует, что плотность простых значений неприводимого многочлена f(x),удовлетворяющая условиям гипотезы Буняковского, описывается как

πf(N)C(f)degfN2dtlnt,
 где πf(N) — количество целых nN таких что f(n) простоечисло, и константаC(f)=p1ω(p)p11p,где p пробегает простые числа и ω(p) — число решенийсравнения f(x)0(modp) в поле Z/(p).

Пример


 Покажем, например, как можно оценить C(f) при f(x)=x2+1. Тогдаω(2)=1, при p1(mod4) будет ω(p)=0, а приp1(mod4) будет ω(p)=2. Остается только численновычислить произведение.