Гипотеза Буняковского

Гипотеза Буняковского гласит, что если f(x) — целозначный неприводимый многочлен и d — наибольший общий делитель всех его значений в целых точках, то целозначный многочлен f(x)/d принимает бесконечно много простых значений.
 Если f(x)=kx+b — линейная функция, то наибольший общий делитель её значений равен НОД(k,b). И тогда по теореме Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии линейная функция f1(x)=kx+bd принимает бесконечное множество простых значений (видно, что f1(x) целозначна). То есть гипотеза сформулирована корректно.
 4-я проблема Ландау — частный случай этой гипотезы при f(x)=x2+1.
 В статье Bateman, Horn приведена общая эвристическая формула, из которой следует, что плотность простых значений неприводимого многочлена f(x), удовлетворяющая условиям гипотезы Буняковского, описывается как

πf(N)C(f)degf2Ndtlnt,
  где πf(N) — количество целых nN таких что f(n) простое число, и константа C(f)=p1ω(p)p11p, где p пробегает простые числа и ω(p) — число решений сравнения f(x)0(modp) в поле Z/(p).

Пример


 Покажем, например, как можно оценить C(f) при f(x)=x2+1. Тогда ω(2)=1, при p1(mod4) будет ω(p)=0, а при p1(mod4) будет ω(p)=2. Остается только численно вычислить произведение.