Гипотеза Крамера

Гипотеза Крамера — теоретико-числовая гипотеза, сформулированная шведским математиком Крамером в 1936 году, утверждающая, что pn+1pn=O(ln2pn), где pn обозначает n-е простое число, а O — это O большое. Грубо говоря, это означает, что пробелы между последовательными простыми всегда маленькие. Также гипотезой Крамера называют чуть более сильное утверждение:
limsupnpn+1pnln2pn=1.
Гиротеза Крамера пока не доказана и не опровергнута.

Эвристическое обоснование

Гипотеза Крамера основывается на вероятностной модели (существенно эвристической) распределения простых, в которой предполагается, что вероятность того, что натуральное число x является простым, равна примерно 1lnx. Эта модель известна как Модель Крамера' простых. Крамер доказал в своей модели, что упомянутая гипотеза истинна с вероятностью 1.

Доказанные результаты о пробелах между простыми числами

Крамер также дал условное доказательство более слабого утверждения о том, что
pn+1pn=O(pnlnpn)
предполагая истинной гипотезу Римана. С другой стороны, E. Westzynthius доказал в 1931 году, что величина пробелов между простыми более чем логарифмическая. То есть,
limsupn+pn+1pnlnpn=.

Гипотеза Крамера-Грэнвилля

Даниэль Шенкс предложил гипотезу об асимптотическом равенстве для наибольших пробелов между простыми, несколько более строгую, чем гипотеза Крамера. В вероятностной модели,
limsupnpn+1pnln2pn=c,
с c=1. Но константа c возможно не такая, как для простых, по теореме Майера. Эндрю Грэнвилль в 1995 году утверждал, что константа c=2eγ1.1229., где γ — постоянная Эйлера. В работе М. Вольф предложил формулу для максимального расстояния G(x) между последовательными простыми числами меньшими x. Формула Вольфа выражает G(x) через функцию распределения простых чисел π(x):
G(x)xπ(x)(2ln(π(x))ln(x)+c0),
где c0=ln(C2)=0.2778769..., а C2=1.3203236... есть константа простых-близнецов. Thomas Nicely вычислил много наибольших пробелов между простыми. Он проверил качество гипотезы Крамера, измерив отношение R логарифма простых к квадратному корню из размера пробела между простыми:
R=lnpnpn+1pn.
Oн писал: «Для известных максимальных пробелов между простыми, R остается равным примерно 1,13,» что показывает, как минимум в диапазоне его вычислений, что грэнвиллево улучшение гипотезы Крамера не представляется лучшим приближением для имеющихся данных.