Гипотеза Гильбрайта

Гипотеза Гильбрайта — гипотеза в теории чисел, утверждющая,что если взять последовательность простых чисел, применить к нейразностный оператор со взятием абсолютных значений и повторять этотпроцесс к получающимся последовательностям, то получаемыепоследовательности всегда будут начинаться на 1. Гипотеза получилаизвестность после того, как была опубликована в 1958 г. НорманомГильбрайтом. Однако, ещё в 1878 году публиковал предполагаемоедоказательство этой же гипотезы, которое, как затем выяснилось, былоошибочным.

Истокигипотезы


 Рассмотрим последовательность простых чисел

 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, \ldots
 Вычислим абсолютные значения разностей между каждым n+1-м членоми предыдущим ему n-ым членом и выпишем полученнуюпоследовательность

 1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, \ldots
 Выполняя те же вычисления для полученной последовательности, получим ещеодну последовательность, для которой снова построим процесс и так добесконечности. Выпишем все полученные последовательности:

 1, 0, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, \ldots
 1, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 2, \ldots
 1, 2, 0, 0, 0, 0, 2, \ldots
 1, 2, 0, 0, 0, 2, \ldots
 1, 2, 0, 0, 2, \ldots
 Видим, что первый элемент каждой последовательности равен 1.

Гипотеза


 Сформулировать гипотезу Гильбрайта проще, если ввести некоторыеобозначения для последовательностей из предыдущей секции. обозначим{pn} упорядоченную последовательность простых чисел pn, иопределим члены последовательности {dn} как

dn=pn+1pn,
 где n — натуральное. Считаем также, что {dn}={dn1}и для каждого натурального k>1, определим последовательность{dnk} формулой

dnk=|dn+1k1dnk1|.
 (здесь k — это не степень, а верхний индекс)
 Гипотеза Гильбрайта утверждает, что каждый член последовательностиak=d1k равен 1.

Проверка и попыткидоказательства


 На 2011 год не было правильного опубликованного доказательства гипотезы.Как уже говорилось во введении, написал доказательство утверждения,однако позже было показано, что оно ошибочно. в 1993 проверил, чтоd1k равно 1 для всех kn=3,41011, ногипотеза остается открытой проблемой. Вместо вычисления всех nрядов таблицы, Одлызко вычислил 635 рядов и установил, что 635-я рядначинается с 1 и далее вплоть до n-го элемента состоит только изчисел 0 и 2. Отсюда следует, что все последующие n рядовначинаются с единицы.