Гипотеза Гильбрайта

Гипотеза Гильбрайта — гипотеза в теории чисел, утверждющая, что если взять последовательность простых чисел, применить к ней разностный оператор со взятием абсолютных значений и повторять этот процесс к получающимся последовательностям, то получаемые последовательности всегда будут начинаться на 1. Гипотеза получила известность после того, как была опубликована в 1958 г. Норманом Гильбрайтом. Однако, ещё в 1878 году публиковал предполагаемое доказательство этой же гипотезы, которое, как затем выяснилось, было ошибочным.

Истоки гипотезы


 Рассмотрим последовательность простых чисел

  2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, \ldots
  Вычислим абсолютные значения разностей между каждым n+1-м членом и предыдущим ему n-ым членом и выпишем полученную последовательность

  1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, \ldots
  Выполняя те же вычисления для полученной последовательности, получим еще одну последовательность, для которой снова построим процесс и так до бесконечности. Выпишем все полученные последовательности:

  1, 0, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, \ldots
 1, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 2, \ldots
 1, 2, 0, 0, 0, 0, 2, \ldots
 1, 2, 0, 0, 0, 2, \ldots
 1, 2, 0, 0, 2, \ldots
  Видим, что первый элемент каждой последовательности равен 1.

Гипотеза


 Сформулировать гипотезу Гильбрайта проще, если ввести некоторые обозначения для последовательностей из предыдущей секции. обозначим {pn} упорядоченную последовательность простых чисел pn, и определим члены последовательности {dn} как

dn=pn+1pn,
  где n — натуральное. Считаем также, что {dn}={dn1} и для каждого натурального k>1, определим последовательность {dnk} формулой

dnk=|dn+1k1dnk1|.
  (здесь k — это не степень, а верхний индекс)
 Гипотеза Гильбрайта утверждает, что каждый член последовательности ak=d1k равен 1.

Проверка и попытки доказательства


 На 2011 год не было правильного опубликованного доказательства гипотезы. Как уже говорилось во введении, написал доказательство утверждения, однако позже было показано, что оно ошибочно. в 1993 проверил, что d1k равно 1 для всех kn=3,41011, но гипотеза остается открытой проблемой. Вместо вычисления всех n рядов таблицы, Одлызко вычислил 635 рядов и установил, что 635-я ряд начинается с 1 и далее вплоть до n-го элемента состоит только из чисел 0 и 2. Отсюда следует, что все последующие n рядов начинаются с единицы.