Гипотеза H

Гипотеза (гипотеза Шинцеля) — обобщение гипотезыДиксона, заключающееся в предположении существования таких полиномов отцелых чисел, которые равны простым числам для бесконечного множествазначений своих аргументов. Предложена в 1958 году Анджеем Шинцелем.

Формулировка


 Пусть полиномы с целочисленными коэффициентамиf1(n), \ldots fk(n), гдеn также целое, являются несводимыми и их старшие коэффициентыположительны. Если они таковы, что для каждого простого числа pможно найти некоторое целое число n такое, что эти полиномы не будутделиться на p, то тогда существует бесконечно много положительныхn, при которых значение каждого из этих полиномов будет простымчислом.

Частныеслучаи


 Известными примерами являются полином

n2+1,
 и так называемые простые числа-близнецы, для которых, однако,справедливость гипотезы не доказана.
 Один из частных случаев гипотезы был доказан Дирихле. Так, для двухцелых чисел, не имеющих общих делителей, арифметическая прогрессия вида

a,a+d,a+2d,,a+nd,,d>0,
 содержит бесконечное количество простых чисел.