Гипотеза H

Гипотеза (гипотеза Шинцеля) — обобщение гипотезы Диксона, заключающееся в предположении существования таких полиномов от целых чисел, которые равны простым числам для бесконечного множества значений своих аргументов. Предложена в 1958 году Анджеем Шинцелем.

Формулировка


 Пусть полиномы с целочисленными коэффициентами f1(n), \ldots fk(n), где n также целое, являются несводимыми и их старшие коэффициенты положительны. Если они таковы, что для каждого простого числа p можно найти некоторое целое число n такое, что эти полиномы не будут делиться на p, то тогда существует бесконечно много положительных n, при которых значение каждого из этих полиномов будет простым числом.

Частные случаи


 Известными примерами являются полином

n2+1,
  и так называемые простые числа-близнецы, для которых, однако, справедливость гипотезы не доказана.
 Один из частных случаев гипотезы был доказан Дирихле. Так, для двух целых чисел, не имеющих общих делителей, арифметическая прогрессия вида

a,a+d,a+2d,,a+nd,,d>0,
  содержит бесконечное количество простых чисел.