Гипотеза Аго Джуги

Гипотеза Аго — Джуги — теоретико-числовая гипотеза о числах Бернулли Bk, согласно которой p является простым числом тогда и только тогда, когда pBp11(modp).

Эквивалентные формулировки


 Исторически первая формулировка гипотезы принадлежит итальянскому математику Джузеппе Джуге (1950), согласно которой p является простым, если:

i=1p1ip1=1p1+2p1++(p1)p11(modp).
  В этой формулировке простота числа p достаточна для выполнения свойства, поскольку для простого p малая теорема Ферма утверждает, что ap11(modp) для a=1,2,,p1, откуда следует эквивалентность, поскольку p11(modp).
 Современная формулировка со связью с числами Бернулли принадлежит японскому математику Такаси Аго (Takashi Agoh, 1990).

Текущее состояние


 Утверждение остаётся гипотезой, поскольку не доказано, что если n является составным, то формула не выполняется. Было показано, что составное число n удовлетворяет формуле тогда и только тогда, когда оно является и числом Кармайкла и числом Джуги одновременно, и если такое число существует, оно содержит как минимум 13 800 знаков.

Взаимосвязь с теоремой Вильсона


 Гипотеза Аго — Джуги внешне сходна с утверждением теоремы Вильсона, согласно которой p просто в том и только в том случае, когда (p1)!1(modp), что может быть записано как:

i=1p1ip11(modp)
  (утверждение гипотезы Аго — Джуги формулируется как:

i=1p1ip11(modp).