Гипотеза Диксона

 Гипотеза Диксона — теоретико-числовое предположение, высказанное Линордом Диксоном в 1904 году, утверждающее, что для любого конечного набора линейных форм a1n+b1,a2n+b2,...akn+bk$a_{1}n+b_1,a_{2}n+b_2,...a_{k}n+b_k$ при aj⩾1$a_j⩾1$, имеется бесконечно много натуральных чисел n, для которых все значения форм будут простыми одновременно, если только не существует сравнение по некоторому простому модулю, сразу исключающее эту возможность.
 

Формулировка

 Пусть k — натуральное число, рассмотрим k арифметических прогрессий a1n+b1,a2n+b2,...akn+bk$a_{1}n+b_1,a_{2}n+b_2,...a_{k}n+b_k$ с целыми aj,bj$a_j,b_j$, причем aj⩾1$a_j⩾1$. Гипотеза Диксона предполагает, что существует бесконечно много натуральных n таких, что для каждого такого n все k чисел a1n+b1,a2n+b2,...akn+bk$a_{1}n+b_1,a_{2}n+b_2,...a_{k}n+b_k$ являются простыми числами. Из рассмотрения исключается только тривиальный случай, когда существует такое простое p, что при любом n хотя бы одно число ajn+bj$a_{j}n+b_j$ кратно p. Это ограничение можно переформулировать так: неверно что для любого n выполняется сравнение (a1n+b1)(a2n+b2)...(akn+bk)≡0(modp)$(a_{1}n+b_1)(a_{2}n+b_2)...(a_{k}n+b_k)\equiv 0(\mathrm{mod}p)$. В последнем случае на p может делиться как несколько прогрессий при разных n, так и одна прогрессия при всех n. Например, для 2-х прогрессий n,2n$n,2n$ всегда 2∣2n$2\mid 2n$, а для 2-х других прогрессий n,n+3$n,n+3$ при четных n 2∣n$2\mid n$, а при нечетных — 2∣n+3$2\mid n+3$, так что в парах прогрессий n,2n$n,2n$ и n,n+3$n,n+3$ число простых пар не бесконечно.
 Заметим также, что формулировка гипотезы получается более естественной, если расширить её область действия с натуральных до всех целых чисел, в частности, считать простыми не только положительные числа 2,3,5,...$2,3,5,...$, но и отрицательные числа −2,−3,−5,...$-2,-3,-5,...$ (каковые действительно являются простыми элементами в кольце Z$\mathbb{Z}$ в обычном смысле). В таком случае нет необходимости требовать положительность всех значений всех прогрессий ajn+bj$a_{j}n+b_j$ и значит условие aj⩾1$a_j⩾1$ можно ослабить до aj≠0$a_j\ne 0$, а последнее вообще можно убрать, поскольку иначе ajn+bj$a_{j}n+b_j$ — не арифметическая прогрессия.
 

Частные случаи

 

 
• Случай k=1$k=1$ уже доказан — это теорема Дирихле.
   
• Два специальных случая — это хорошо известные гипотезы: имеется бесконечно много простых чисел-близнецов (n и n + 2 простые), и имеется бесконечно много чисел Софи Жермен (n и 2n + 1 простые).
   
• Гипотеза Полиньяка — существует бесконечно много простых пар вида n,n+2t$n,n+2t$, t — фиксированное натуральное число (то есть бесконечно число простых пар (n,n+2)$(n,n+2)$, (n,n+4)$(n,n+4)$, (n,n+6)$(n,n+6)$ и т. п.)
   
• Гипотеза о последовательных простых: если нет простого p такого, что для всех n p∣(n+b1)(n+b2)...(n+bk)$p\mid (n+b_1)(n+b_2)...(n+b_k)$, то число последовательных простых бесконечно (это опять же пары (n,n+2)$(n,n+2)$, тройки (n,n+2,n+6)$(n,n+2,n+6)$, четверки (n,n+2,n+6,n+8)$(n,n+2,n+6,n+8)$ и т. д.)
   
• В качестве других следствий можно привести то, что из гипотезы Диксона следует бесконечность числа составных чисел Мерсенна и бесконечность чисел Кармайкла, содержащих ровно 3 простых множителя, и т. п.

 

Эвристические соображения в пользу гипотезы

 Пусть w(p)$w(p)$ — число решений сравнения (a1n+b1)(a2n+b2)...(akn+bk)≡0(modp)$(a_{1}n+b_1)(a_{2}n+b_2)...(a_{k}n+b_k)\equiv 0(\mathrm{mod}p)$. Согласно предположению гипотезы, $w(p)n, не превосходящих x, для которых все числа ajn+b+j$a_{j}n+b+j$ простые, оценивается величиной
 
  ∏p1−w(p)/p(1−p−1)k∫2xdtlnkt,$\prod _p\frac{1-w(p)/p}{(1-p^{-1}{)}^k}\underset{2}{\overset{x}{\int }}\frac{dt}{{\ln }^{k}t},$
  здесь произведение берется по всем простым числам p, а ln$\ln$ — натуральный логарифм числа. Величина асимптотически эквивалентна ∏p1−w(p)/p(1−p−1)kxlnkx,$\prod _p\frac{1-w(p)/p}{(1-p^{-1}{)}^k}\frac{x}{{\ln }^{k}x},$
 но 1-е выражение должно быть точнее. При k=1$k=1$, нетрудно проверить, коэффициент будет равен 1φ(a1)$\frac{1}{\phi (a_1)}$, что соответствует теореме Дирихле (здесь φ$\phi$ — функция Эйлера).
 

Обобщения

 Гипотеза Диксона была позже обобщена Шинцелем до гипотезы Шинцеля.