Гипотеза Диксона — теоретико-числовое предположение,
высказанное Линордом Диксоном в 1904 году, утверждающее, что для любого
конечного набора линейных форм
a1n+b1,a2n+b2,...akn+bk при
aj⩾1, имеется бесконечно много натуральных чисел
n,
для которых все значения форм будут простыми одновременно, если только
не существует сравнение по некоторому простому модулю, сразу исключающее
эту возможность.
Формулировка
Пусть
k — натуральное число, рассмотрим
k арифметических
прогрессий
a1n+b1,a2n+b2,...akn+bk с целыми
aj,bj, причем
aj⩾1. Гипотеза Диксона предполагает, что существует
бесконечно много натуральных
n таких, что для каждого такого
n все
k чисел
a1n+b1,a2n+b2,...akn+bk являются
простыми числами. Из рассмотрения исключается только тривиальный случай,
когда существует такое простое
p, что при любом
n хотя бы
одно число
ajn+bj кратно
p. Это ограничение можно
переформулировать так: неверно что для любого
n выполняется
сравнение
(a1n+b1)(a2n+b2)...(akn+bk)≡0(modp). В
последнем случае на
p может делиться как несколько прогрессий при
разных
n, так и одна прогрессия при всех
n. Например, для
2-х прогрессий
n,2n всегда
2∣2n, а для 2-х других прогрессий
n,n+3 при четных
n 2∣n, а при нечетных —
2∣n+3,
так что в парах прогрессий
n,2n и
n,n+3 число простых пар не
бесконечно.
Заметим также, что формулировка гипотезы получается более естественной,
если расширить её область действия с натуральных до всех целых чисел, в
частности, считать простыми не только положительные числа
2,3,5,...,
но и отрицательные числа
−2,−3,−5,... (каковые действительно являются
простыми элементами в кольце
Z в обычном смысле). В таком
случае нет необходимости требовать положительность всех значений всех
прогрессий
ajn+bj и значит условие
aj⩾1 можно ослабить
до
aj≠0, а последнее вообще можно убрать, поскольку иначе
ajn+bj — не арифметическая прогрессия.
Частные
случаи
-
Случай k=1 уже доказан — это теорема Дирихле.
-
Два специальных случая — это хорошо известные гипотезы: имеется
бесконечно много простых чисел-близнецов (n и n + 2
простые), и имеется бесконечно много чисел Софи Жермен (n и
2n + 1 простые).
-
Гипотеза Полиньяка — существует бесконечно много простых пар вида
n,n+2t, t — фиксированное натуральное число (то есть
бесконечно число простых пар (n,n+2), (n,n+4), (n,n+6)
и т. п.)
-
Гипотеза о последовательных простых: если нет простого p
такого, что для всех n p∣(n+b1)(n+b2)...(n+bk), то
число последовательных простых бесконечно (это опять же пары
(n,n+2), тройки (n,n+2,n+6), четверки (n,n+2,n+6,n+8)
и т. д.)
-
В качестве других следствий можно привести то, что из гипотезы Диксона
следует бесконечность числа составных чисел Мерсенна и бесконечность
чисел Кармайкла, содержащих ровно 3 простых множителя, и т. п.
Эвристические соображения в пользу
гипотезы
Пусть
w(p) — число решений сравнения
(a1n+b1)(a2n+b2)...(akn+bk)≡0(modp). Согласно
предположению гипотезы, $w(p)
n, не превосходящих x, для которых все числа
ajn+b+j простые, оценивается величиной
∏p1−w(p)/p(1−p−1)k∫2xdtlnkt,
здесь произведение берется по всем простым числам p, а ln —
натуральный логарифм числа. Величина асимптотически эквивалентна
∏p1−w(p)/p(1−p−1)kxlnkx,
но 1-е выражение должно быть точнее. При k=1, нетрудно проверить,
коэффициент будет равен 1φ(a1), что соответствует
теореме Дирихле (здесь φ — функция Эйлера).
Обобщения
Гипотеза Диксона была позже обобщена Шинцелем до гипотезы Шинцеля.