Числа Серпинского

 В теории чисел нечётное натуральное число k является числом Серпинского, если для любого натурального числа n число k2n+1 является составным. Числа Серпинского названы так в честь открывшего их существование польского математика Вацлава Серпинского.
 Существование чисел Серпинского довольно неочевидно. Например, если рассмотреть последовательность 32n+1, то в ней регулярно будут встречаться простые числа, и неожиданным является тот факт, что для некоторых k в последовательности k2n+1 никогда не встретится простое число.
 Чтобы доказать, что число k не является числом Серпинского, нужно найти такое n, что число k2n+1 является простым.

Известные числа Серпинского


 Последовательность известных на данный момент чисел Серпинского начинается так:

 , , , \ldots
  То, что число является числом Серпинского, было доказано в 1962 году , который показал, что каждое число вида 785572n+1 делится по крайней мере на одно число из покрывающего множества \{3, 5, 7, 13, 19, 37, 73\}. Аналогично доказывается, что также является числом Серпинского: каждое число вида 2711292n+1 делится по крайней мере на одно число из множества \{3, 5, 7, 13, 17, 241\}. Все известные на данный момент числа Серпинского обладают подобными покрывающими множествами.

Проблема Серпинского


 Задача отыскания минимального числа Серпинского известна как проблема Серпинского.
 В 1967 году Селфридж и Серпинский предположили, что является наименьшим числом Серпинского. Доказательством этой гипотезы занимаются проекты распределённых вычислений Seventeen or Bust и PrimeGrid.
 К концу 2016 года из шести чисел-кандидатов, которые могли бы опровергнуть эту гипотезу, осталось пять: и (число 10223 было отвергнуто в ноябре 2016 года).