Интервалы между простыми числами

Интервалы между простыми числами — это разности между двумя последовательными простыми числами. n-ый интервал, обозначаемый gn, — это разность между n+1-м и n-ым простыми числами, то есть

gn=pn+1pn.
  Мы имеем: g1=1,g2=g3=2,g4=4. Последовательность gn интервалов между простыми хорошо изучена. Иногда рассматривают функцию g(pn) вместо gn
 Первые 30 интервалов между простыми числами следующие:

  1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8, 4, 2, 4, 2, 4, 14 .

Простые замечания


 Для любого простого числа P, символом P\# мы будем обозначать праймориал P, то есть произведение всех простых чисел, не превосходящих P. Если Q — это простое число, следующее за P, то последовательность

P#+2,P#+3,...,P#+(Q1)
  является последовательностью из Q2 последовательных составных чисел, поэтому существуют интервалы между простыми длины не меньше, чем Q1. Следовательно, существуют сколь угодно большие интервалы между простыми числами, и для любого простого P существует n такое, что gnP (Очевидно, что для этого мы можем выбрать n таким, что pn будет наибольшим простым числом, не превосходящим P#+2.). Другой способ увидеть, что существуют сколь угодно большие интервалы между простыми числами, использует тот факт, что множество простых чисел имеет нулевую плотность, согласно теореме о распределении простых чисел.
 На самом деле, интервал между простыми величины P может встретиться между простыми, гораздо меньшими, чем P\#. Например, самая первая последовательность из 71 последовательных составных чисел находится между 31398 и 31468, в то время как 71\# является 27-значным числом.
 Уже среднее значение интервалов между простыми растет как натуральный логарифм n.
 С другой стороны, гипотеза о простых близнецах утверждает, что gn=2 для бесконечно многих n.
 Интервалы между простыми могут быть оценены сверху и снизу с помощью функции Якобсталя

Численные результаты


 На 2009 г. наибольший известный интервал между числами, определенными как вероятно простые, имеет длину 2254930, с 86853-значными вероятно простыми был найден H. Rosenthal и J. K. Andersen. Наибольший известный интервал между простыми числами — это интервал длины 337446, с 7996-значными простыми найден T. Alm, J. K. Andersen и Francois Morain.
 Будем говорить, что gn является максимальным интервалом, если для всех $k
\#gnpn
515821346294310749
525881408695493609
536021968188556461
546522614941710599
556747177162611713
5671613829048559701
5776619581334192423
5877842842283925351
5980490874329411493
60806171231342420521
61906218209405436543
629161189459969825483
639241686994940955803
6411321693182318746371
65118443841547845541059
66119855350776431903243
67122080873624627234849
681224203986478517455989
691248218034721194214273
701272305405826521087869
711328352521223451364323
721356401429925999153707
731370418032645936712127
741442804212830686677669
7514761425172824437699411
\captionОт 51 до 75

Наибольшие интервалы первых десяти тысяч


 Уже во второй тысяче имеется интервал, длиной 34 числа, в котором нет простых чисел - (1327-1361). Причём, этот интервал удерживает свой рекорд длины до десятой тысячи. Лишь в девятой тысяче имеется второй интервал такой же длины - (8467-8501), а в десятой - более длинный интервал (36 чисел) - (9551-9587), который и является самым длинным интервалом первых десяти тысяч. Имеется также интервал длиной 32 числа - (5591-5623).

Наибольшие интервалы первых ста тысяч


 В пределах первых ста тысяч имеются следующие интервалы длиной 50 и более чисел, в которых нет ни одного простого числа:
 72 числа: 31397-31469
 64 числа: 89689-89753
 62 числа: 34061-34123
 60 чисел: 43331-43391
 58 чисел:
 44293-44351
 \texttt       58831-58889
 \texttt       79699-79757
 \texttt       85933-85991
 56 чисел: 82073-82129
 54 числа:
 35617-35671
 \texttt       40289-40343
 \texttt       40639-40693
 \texttt       86869-86923
 52 числа:
 19609-19661
 25471-25523
 \texttt       35677-35729
 \texttt       43801-43853
 \texttt       48679-48731
 \texttt       59281-59333
 \texttt       74959-75011
 50 чисел:
 31907-31957
 \texttt       45893-45943
 \texttt       60539-60589
 \texttt       69263-69313
 \texttt       95651-95701

Некоторые крупные интервалы в пределах первого миллиона


 Вот некоторые (не все) интервалы без простых чисел длиной в 80 и более чисел в пределах первого миллиона:
 114 чисел: 492113-492227
 112 чисел: 370261-370373
 96 чисел: 360653-360749
 90 чисел: 576791-576881
 86 чисел:
 155921-156007
 840353-840439
 84 числа: 990053-990137
 Источником такой информации явилась непосредственная проверка пяти- и шестизначных чисел на простоту со стороны автора этого и предыдущего раздела. Числа автор проверял с помощью обычного приложения Excel, где в первую колонку заносились претендующие на простоту числа, во вторую и в последующие - результаты их деления на 7, 11, 13, 17, 19, 23 и т.д.

Дальнейшие результаты


Верхние оценки


 Постулат Бертрана утверждает, что для любого k всегда существует хотя бы одно простое число между k и 2k, поэтому, в частности, pn+1<2pn, откуда $g_n Теорема о распределении простых чисел говорит, что «средняя длина» интервалов между простым p и следующим простым числом имеет порядок lnp. Фактическая длина интервалов может быть больше или меньше этого значения. Однако, из теоремы о распределении простых чисел можно вывести, верхнюю оценку для длины интервалов простых чисел: для любого ε>0 существует такое N, что для всех n>N будет gn<εpn.
 Hoheisel первым показал что существует такое постоянное θ<1

π(x+xθ)π(x)xθlnx   при   x +
  отсюда следует, что

  $g_n  для достаточно большого n.
 Отсюда следует, что интервалы между простыми становятся сколь угодно меньше по отношению к простым: частное gnpn стремится к нулю при n стремящемся к бесконечности.
 Hoheisel получил возможное значение 32999/33000 для θ. Эта оценка была улучшена до 249/250 Хейлборном, и до θ=34+ε для любого ε>0 Чудаковым.
 Основное улучшение было получено Ингамом,, который показал, что если

ζ(1/2+it)=O(tc)
  для некоторой константы c>0, где O используется в смысле нотации O большое, то

π(x+xθ)π(x)xθlnx
  для любого θ>1+4c2+4c. Здесь, как обычно, ζ обозначает дзета функцию Римана, а π(x) — функция числа простых чисел не превосходящих x. Известно, что допускается c>16, откуда в качестве θ можно взять любое число, большее 58. Из результата Ингама сразу следует, что всегда существует простое число между числами n3 и (n+1)3 для достаточно больших n. Заметим, что ещё не доказана гипотеза Линделёфа, которая утверждает, что в качестве c может быть выбрано любое положительное число, но из неё следует, что всегда существует простое число между n2 и (n+1)2 для достаточно больших n (см. также Гипотеза Лежандра). Если эта гипотеза верна, то возможно, что необходима ещё более строгая гипотеза Крамера. Одним из достигнутых приближений к гипотезе Лежандра является доказанный факт о том, что g(pn)=O(pn2140).
 Хаксли показал, что можно выбрать θ=712.
 Последний результат принадлежит Baker, Harman and Pintz, показавшим, что θ может быть взято равным 0,525.
 В 2005, Daniel Goldston, Janos Pintz и Cem Y?ld?r?m доказали, что

lim infn+gnlnpn=0
  и позже улучшили это до

lim infn+gnlnpn(lnlnpn)2<
  В 2013 Чжан Итан представил статью, где доказывается, что

lim infn+gn<70000000
  Этот результат многократно улучшался вплоть до

lim infn+gn<247
  В частности, отсюда следует, что множество всех пар простых чисел, разницы между которыми не превосходит 246, бесконечно.

Нижние оценки


 Роберт Ранкин доказал, что существует константа c>0 такая, что неравенство

gn>clnnlnlnnlnlnlnlnn(lnlnlnn)2
  сохраняется для бесконечно многих значений n. Наилучшее известное значение для c на текущий момент — это c=2eγ, где γ — постоянная Эйлера-Маскерони. Пауль Эрдёш предложил приз в \$5000 за доказательство или опровержение того, что константа c в неравенстве выше может быть сколь угодно большой.

Гипотезы о интервалах между простыми числами


 Здесь возможны ещё лучшие результаты, чем те, которые могут быть получены при предположении истинности гипотезы Римана. Harald Cramer доказал, что если гипотеза Римана верна, то интервалы g(pn) удовлетворяют соотношению

g(p_n) = O(\sqrt{p_n \ln p_n),
  (здесь используется нотация O большое). Позже он предположил, что интервалы растут гораздо меньше. Грубо говоря, он предположил, что

g(pn)=O(ln2pn).
  В данный момент на это указывают численные расчеты. Для более детальной информации см. Гипотеза Крамера.
 Гипотеза Андрики утверждает, что

g(p_n) < 2\sqrt{p_n + 1.
  Это слабое усиление гипотезы Лежандра, которая утверждает, что между любой парой квадратов натуральных чисел существует хотя бы одно простое число.

Интервалы между простыми как арифметическая функция


 Интервал gn между n-ым и n+1-ым простым числом является примером арифметической функции. В таком контексте обычно её обозначают dn и называют разностью между простыми. Разность между простыми не является мультипликативной и не является аддитивной.