Простой множитель

 В теории чисел, простые множители (простые делители) положительного целого числа — это простые числа, которые делят это число нацело (без остатка). Выделить простые множители положительного целого числа означает перечислить эти простые множители вместе с их кратностями. Процесс определения простых множителей называется факторизацией целых чисел. Основная теорема арифметики утверждает, что любое натуральное число можно представить в виде единственного (с точностью до порядка следования) произведения простых множителей.
 Чтобы сократить выражение, простые множители часто представляются в виде степеней простых чисел (кратностей). Например,

360=2×2×2×3×3×5=23×32×5
  в котором множители 2, 3 и 5 имеют кратности 3, 2 и 1, соответственно.
 Для простого множителя р числа n кратность числа p — это наибольший из показателей степени а, для которых р\emphа делит n нацело.
 Для положительного целого числа n, количество простых множителей n и сумма простых множителей n (без учёта кратности) — это примеры арифметических функций из n (аддитивных арифметических функций).

Полный квадрат


 Квадрат числа имеет то свойство, что все его простые множители имеют чётные кратности. Например, число 144 (квадрат 12) имеет простые множители
144=2×2×2×2×3×3=24×32.
В более понятной форме:
144=2×2×2×2×3×3=(2×2×3)×(2×2×3)=(2×2×3)2=(12)2.
Поскольку каждый простой множитель присутствует здесь чётное число раз, исходное число можно представить в виде квадрата некоторого числа. Таким же образом, куб числа — это число, у которого кратности простых множителей делятся на три, и так далее.

Взаимно простые числа


 Положительные целые числа, не имеющие общих простых множителей, называются взаимно простыми. Два целых числа a и b можно назвать взаимно простыми, если их наибольший общий делитель НОД(a, b) = 1. Если для двух целых чисел неизвестны их простые множители, то для определения того, являются ли они взаимно простыми, используется алгоритм Евклида; алгоритм выполняется за полиномиальное время по количеству цифр.
 Целое число 1 является взаимно простым для любого положительного целого числа, включая само себя. Иными словами, число 1 не имеет простых множителей, оно — empty product. Это означает, что НОД(1, b) = 1 для любого b ≥ 1.

Криптографические приложения


 Определение простых множителей числа — это пример задачи, которая часто используется для обеспечения криптографической защиты в системах шифрования. Предполагается, что эта задача требует супер-полиномиального времени по количеству цифр. Это значит, что относительно легко сконструировать задачу, решение которой заняло бы больше времени, чем известный возраст Вселенной при текущем развитии компьютеров и с помощью современных алгоритмов.

Функции Омега


 Функция (омега) представляет собой число различных простых множителей n, в то время как функция (большая Омега) представляет собой число простых множителей , пересчитанное с учётом кратности. Если
n=i=1ω(n)piαi,
тогда
Ω(n)=i=1ω(n)αi.
Например, , Так что и .

  • для = 1, 2, 3, \ldots соответственно 0, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, \ldots — .
  • для = 1, 2, 3, \ldots соответственно 0, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 3, 2, \ldots — .