Частное Ферма

 В теории чисел частным Ферма для целого a ≥ 2 по простой базе p называется дробь
qp(a)=ap11p.

 Если a взаимно просто с p, то малая теорема Ферма утверждает, что qp(a) будет целым. Частное названо в честь Пьера Ферма.

Свойства


 Из определения очевидно, что
qp(1)0(modp)

qp(a)qp(a)(modp)

 В 1850 году Готтхольд Эйзенштейн (Gotthold Eisenstein) доказал, что если a и b оба взаимно просты с p, то:
qp(ab)qp(a)+qp(b)(modp)
;
qp(ar)rqp(a)(modp)
;
qp(a+p)qp(a)1a(modp)
;
qp(p1)1(modp)
;
qp(p+1)1(modp)
.
 Эйзенштейн сравнивал два первых соотношения со свойствами логарифмов.
 Из этих свойст вытекает
qp(1/a)qp(a)(modp)
;
qp(a/b)qp(a)qp(b)(modp)
.
 В 1895 году Дмитрий Мириманов (Dmitry Mirimanoff) указал на то, что последовательное применение правил Айзенштейна ведет к
qp(a+np)qp(a)n1a(modp).
Отсюда следует, что
qp(a+np2)qp(a)(modp).

Специальные случаи


 Айзенштейн обнаружил, что частное Ферма по основанию 2 может быть выражено как сумма обратных величин к числам, находящимися в нижней половине интервала \{1, p − 1\}:
2qp(2)k=1p121k(modp).

 Более поздние авторы показали, что число элементов в таком представлении может быть уменьшено до с 1/2 до 1/4, 1/5, или даже 1/6:
3qp(2)k=1p41k(modp).

4qp(2)k=p10+12p101k+k=3p10+14p101k(modp).

2qp(2)k=p6+1p31k(modp).

 Серии Айзенштейна имеют увеличивающуюся сложность отношений с частным Ферма по другим базисам, несколько первых примеров:
3qp(3)2k=1p31k(modp).

5qp(5)4k=1p51k+2k=p5+12p51k(modp).

Обобщенные простые Вифериха


 Если qp(a) ≡ 0 (mod p), то ap-1 ≡ 1 (mod p2). Простые, для которых это верно для a = 2 называются простыми Вифериха. В более общем случае они называются простыми числами Вифериха по простому основанию a. Известные решения qp(a) ≡ 0 (mod p) для малых a :
 :\{ - ! a ! p ! последовательность OEIS - 2 1093, 3511 - 3 11, 1006003 - 5 2, 20771, 40487, 53471161, 1645333507, 6692367337, 188748146801 - 7 5, 491531 - 11 71 - 13 2, 863, 1747591 - 17 2, 3, 46021, 48947, 478225523351 - 19 3, 7, 13, 43, 137, 63061489 - 23 13, 2481757, 13703077, 15546404183, 2549536629329 \} Наименьшее решение qp(a) ≡ 0 (mod p) с a = n-ым простое

  1093, 11, 2, 5, 71, 2, 2, 3, 13, 2, 7, 2, 2, 5, \ldots .
  Пара (p,r) простых чисел, такая, что qp(r) ≡ 0 (mod p) и qr(p) ≡ 0 (mod r) называется парой Вифериха.