Теорема Бруна Тичмарша

Теорема Бруна — Тичмарша — утверждение аналитической теории чисел, определяющее распределения арифметических прогрессий из простых чисел. Носит имя математиков Вигго Бруна и .
 Теорема утверждает, что если π(x;q,a) равно числу простых чисел p, сравнимых с a по модулю q при px, то:

π(x;q,a)2xφ(q)log(x/q)
  для всех $q

История


 Теорема доказана с помощью Монтгомери и Воном в 1973 году. Более ранний результат Бруна и Тичмарша является более слабой версией этого неравенства (с дополнительным множителем 1+o(1)).

Усиления


 Если q относительно мало, то есть, qx9/20, то существует граница лучше:

π(x;q,a)(2+o(1))xφ(q)ln(x/q3/8)
  Это показал Мотохаси, использовавший билинейную структуру в остаточном члене решета Сельберга (Selberg), открытую им самим. Позднее идея использования структур в остаточном члене решета, благодаря расширениям комбинаторного решета Иванцем (H. Iwaniec), развита до основного метода аналитической теории чисел.

Сравнение с теоремой Дирихле


 В отличие от теоремы Бруна — Тичмарша теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии даёт асимптотическую оценку, которую можно выразить в форме:

π(x;q,a)=xφ(q)log(x)(1+O(1logx)),
  но эта оценка может быть доказана только при более сильных ограничениях на q<(logx)c для константы c, и это .