Processing math: 100%

Теорема Бруна Тичмарша

Теорема Бруна — Тичмарша — утверждение аналитической теориичисел, определяющее распределения арифметических прогрессий из простыхчисел. Носит имя математиков Вигго Бруна и .
 Теорема утверждает, что если π(x;q,a) равно числу простых чисел p,сравнимых с a по модулю q при px, то:

π(x;q,a)2xφ(q)log(x/q)
 для всех $q

История


 Теорема доказана с помощью Монтгомери и Воном в 1973 году. Более раннийрезультат Бруна и Тичмарша является более слабой версией этогонеравенства (с дополнительным множителем 1+o(1)).

Усиления


 Если q относительно мало, то есть, qx9/20, тосуществует граница лучше:

π(x;q,a)(2+o(1))xφ(q)ln(x/q3/8)
 Это показал Мотохаси, использовавший билинейную структуру в остаточномчлене решета Сельберга (Selberg), открытую им самим. Позднее идеяиспользования структур в остаточном члене решета, благодаря расширениямкомбинаторного решета Иванцем (H. Iwaniec), развита до основногометода аналитической теории чисел.

Сравнение с теоремойДирихле


 В отличие от теоремы Бруна — Тичмарша теорема Дирихле о простых числахв арифметической прогрессии даёт асимптотическую оценку, которую можновыразить в форме:

π(x;q,a)=xφ(q)log(x)(1+O(1logx)),
 но эта оценка может быть доказана только при более сильных ограниченияхна q<(logx)c для константы c, и это .