Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии

Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии гласит: Пусть l,k>0 — целые числа, и (l,k)=1.
 Тогда существует бесконечно много простых чисел p таких, что pl(modk).
 Из этого следует, что каждая бесконечная арифметическая прогрессия, первый член и разность которой — натуральные взаимно простые числа, содержит бесконечное число простых чисел.

История доказательств


 Теорема в данной формулировке была доказана Дирихле аналитическими средствами в 1837 году. В дальнейшем были найдены доказательство теоремы элементарными методами. Различные такие доказательства представили Мертенс, Сельберг и Цассенхаус.

Вариации


 При рассмотрении простых pl(modk) довольно часто оказывается, что их множество обладает многими свойствами, присущими множеству всех простых чисел. Существует немало теорем и гипотез, рассматривающих только простые числа из определённого класса вычетов, или соотношения множеств простых чисел из разных классов вычетов.
 Например, кроме основного утверждения теоремы Дирихле доказал в 1839 году, что при любых фиксированных натуральных взаимно простых числах l и k:

lims1+p1psln1s1=1φ(k),
  где суммирование ведётся по всем простым числам p с условием pl(modk), а φ — функция Эйлера.
 Это соотношение можно интерпретировать как закон равномерного распределения простых чисел по классам вычетов modk, поскольку

lims1+p1psln1s1=1,
  если суммирование ведётся по всем простым числам.
 Известно, что для любых взаимопростых чисел l и k ряд p1p, где суммирование ведётся по простым pl(modk), расходится.