Гипотеза Эллиота Халберстама

Гипотеза Эллиота — Халберстама EH(θ) — это гипотеза о распределении простых чисел в арифметической прогрессии. Она имеет множество применений в методах решета. Название гипотеза получила в честь Питера Эллиота и Хайни Халберстама .
 Пусть π(x) — число простых чисел не превышающих x. Если q — натуральное число, а a и q — взаимно простые числа, то мы обозначим π(x;q,a) — число простых чисел не превышающих x и равных a по модулю q. Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии утверждает, что:
π(x;q,a)π(x)φ(q),
где a и q — взаимно просты, а φ(q) — функция Эйлера.
 Определим теперь функцию погрешности
Δ(x;q)=max(a,q)=1|π(x;q,a)π(x)φ(q)|,

 где максимум берется по всем a, взаимно простым с q.
 Тогда для всех θ<1 и всех A>0 найдется константа C>0 и выполняется
1qxθΔ(x;q)CxlnAx

 для всех x>2.
 Эта гипотеза была доказана для всех θ<12 Энрико Бомбьери и А. И. Виноградовым. Известно, что гипотеза не выполняется в крайней точке θ=1.
 Гипотеза Эллиота — Халберстама имеет несколько следствий. Например, результат Дэна Голдстона утверждает, что в предположении справедливости гипотезы, существует бесконечно много пар простых чисел, которые отличаются не более чем на 16. В ноябре 2013 года, Джеймс Мейнард показал, что из гипотезы Эллиота — Халберстама можно получить существование бесконечного числа пар последовательных простых чисел, отличающихся не более чем на 12. В августе 2014 года группа Polymath показала, что при условии истинности обобщенной гипотезы Эллиота — Халберстама, существует бесконечно много пар последовательных простых чисел, отличающихся не более чем на 6.