Теорема Эрдёша Каца

Теорема Эрдёша — Каца — утверждение в теории чисел, которое связывает распределение числа разных простых делителей больших чисел с формулами предельных законов теории вероятностей. Этот результат теории чисел, полученный Палом Эрдёшом и Марком Кацем в 1940 году утверждает, что если ω(n) — число различных простых делителей числа n, то предельное распределение величины

ω(n)loglognloglogn
  является стандартным нормальным распределением. Это глубокое обобщение теоремы Харди — Рамануджана, которая утверждает, что «среднее» значение ω(n) равно loglogn, а «среднее отклонение» не более loglogn.

Теорема


 Более формально теорема утверждает, что для любых фиксированных $a
limx1x|{nx:aω(n)loglognloglognb}|=Φ(a,b),
  где

Φ(a,b)=12πabet2/2dt..

Оригинальное доказательство


 В оригинальном доказательстве утверждение о нормальности распределения в первой лемме теоремы основано на том, что функция ω(n) является аддитивной и может быть представлена как сумма индикаторов делимости на простые числа. Далее, не вводя понятие случайной величины, авторы утверждают, что слагаемые-индикаторы независимы. Затем не вдаваясь в подробности, авторы ссылаются на источник, где нормальность распределения доказывается для сумм слабозависимых случайных величин. В конце доказательства авторы извиняются за поверхностность «статистической» леммы.
 В 1958 году Альфред Реньи и Пал Туран дали более точное доказательство.

Особенности


 В теореме идёт речь о распределении детерминированных величин, а не о распределении вероятностей случайной величины. Но если на достаточно большом отрезке натуральных чисел выбирать случайно число n, то число различных простых делителей этого числа будет иметь приблизительно нормальное распределение с математическим ожиданием и дисперсией равным среднему значению loglogn на отрезке. Поскольку эта функция, называемая повторным логарифмом, растёт медленно, то такое усреднение не будет приводить к большой ошибке даже на очень длинных отрезках. Вид распределения связывает теорему Эрдёша — Каца с центральной предельной теоремой.

Скорость роста повторного логарифма


 Повторный логарифм — это чрезвычайно медленно растущая функция. В частности, числа до миллиарда содержат в разложении на простые в среднем три простых числа.
 Например 1 000 000 003 = 23 × 307 × .
nЧисло знаков в nСреднее число простых чисел в разложениисреднее отклонение
1000421,4
1 000 000 0001031,7
1 000 000 000 000 000 000 000 0002542
10656652,2
1095669567103,2
10210 704 568204,5
1010\textsuperscript221022+1507,1
1010\textsuperscript441044+110010
1010\textsuperscript43410434+1100031,6

 Если заполнить шар размером с Землю песком, потребуется около 1033 песчинок. Для заполнения видимой части вселенной потребовалось бы 1093 песчинок. Там же может поместиться 10185 квантовых струн.
 Числа такого размера — с 186 знаками — в среднем состоят лишь из 6 простых чисел в разложении.